大學聯考理科數學知識覆蓋面廣,我們可以通過多做理科數學模擬試卷來擴展自己的知識面,下面是小編為大家精心推薦的2018屆鹽城市大學聯考理科數學模擬試卷,希望能夠對您有所幫助。
2018屆鹽城市大學聯考理科數學模擬試卷題目一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,計70分. 不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上)
1.已知全集 ,集合 ,則 = ▲ .
2.設複數 滿足 ( 為虛數單位),則 ▲ .
3.某高級中學高一、高二、高三年級的學生人數分別為600人、700人、700人,為了解不同年級學生的眼睛近視情況,現用分層抽樣的方法抽取了容量為100的樣本,則高三年級應抽取的學生人數為 ▲ .
4.若命題“ ”是假命題,則實數 的取值範圍是 ▲ .
5.甲、乙兩組各有三名同學,他們在一次測試中的成績分別為:
甲組:88、89、90;乙組:87、88、92. 如果分別從甲、乙兩
組中隨機選取一名同學,則這兩名同學的成績之差的絕對值
不超過3的概率是 ▲ .
6.執行如圖所示的偽代碼,輸出 的值為 ▲ .
7.設拋物線 的焦點與雙曲線
的右焦點重合,則 = ▲ .
8.設 滿足 ,則 的最大值為 ▲ .
9.將函數 的圖象向左平移 個單位後,恰好得到函數的 的圖象,則 的最小值為 ▲ .
10.已知直三稜柱 的所有稜長都為2,點 分別為稜 的中點,則四面體 的體積為 ▲ .
11.設數列 的首項 ,且滿足 與 ,則 ▲ .
12.若 均為非負實數,且 ,則 的最小值為 ▲ .
13.已知 四點共面, , , ,則 的最大值為 ▲ .
14.若實數 滿足 ,則 ▲ .
二、解答題(本大題共6小題,計90分. 解答應寫出必要的文字説明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區域內)
15.(本小題滿分14分)
如圖,在四稜柱 中,平面 底面ABCD,且 .
(1)求證: 平面 ;
(2)求證:平面 平面 .
16.(本小題滿分14分)
設△ 面積的大小為 ,且 .
(1)求 的值;
(2)若 , ,求 .
17. (本小題滿分14分)
一兒童遊樂場擬建造一個“蛋筒”型遊樂設施,其軸截面如圖中實線所示. 是等腰梯形, 米, ( 在 的延長線上, 為鋭角). 圓 與 都相切,且其半徑長為 米. 是垂直於 的一個立柱,則當 的值設計為多少時,立柱 最矮?
18.(本小題滿分16分)
已知 、 分別是橢圓 的左頂點、右焦點,點 為橢圓 上一動點,當 軸時, .
(1)求橢圓 的離心率;
(2)若橢圓 存在點 ,使得四邊形 是平行四邊形(點 在第一象限),求直線 與 的斜率之積;
(3)記圓 為橢圓 的“關聯圓”. 若 ,過點 作橢圓 的“關聯圓”的兩條切線,切點為 、 ,直線 的橫、縱截距分別為 、 ,求證: 為定值.
19.(本小題滿分16分)
設函數 .
(1)若函數 是奇函數,求實數 的值;
(2)若對任意的實數 ,函數 ( 為實常數)的圖象與函數 的圖象總相切於一個定點.
① 求 與 的值;
② 對 上的任意實數 ,都有 ,求實數 的取值範圍.
20.(本小題滿分16分)
已知數列 , 都是單調遞增數列,若將這兩個數列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項),則得到一個新數列 .
(1)設數列 、 分別為等差、等比數列,若 , , ,求 ;
(2)設 的首項為1,各項為正整數, ,若新數列 是等差數列,求數列 的前 項和 ;
(3)設 ( 是不小於2的正整數), ,是否存在等差數列 ,使得對任意的 ,在 與 之間數列 的項數總是 ?若存在,請給出一個滿足題意的等差數列 ;若不存在,請説明理由.
鹽城市2017屆高三年級第三次模擬考試
數學附加題部分
(本部分滿分40分,考試時間30分鐘)
21.[選做題](在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內)
A.(選修4—1:幾何證明選講)
已知 是圓 兩條相互垂直的直徑,弦 交 的延長線於點 ,若 , ,求 的長.
B.(選修4—2:矩陣與變換)
已知矩陣A= 所對應的變換T把曲線C變成曲線C1 ,求曲線C的方程.
C.(選修4—4:座標系與參數方程)
在極座標系中,直線 的極座標方程為 . 以極點 為原點,極軸為 軸的正半軸建立平面直角座標系,圓 的參數方程為 ( 為參數). 若直線 與圓 相切,求 的值.
D.(選修4—5:不等式選講)
已知 為正實數,且 ,證明: .
[必做題](第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內)
22.(本小題滿分10分)
如圖,在四稜錐 中,底面 是矩形,面 底面 ,且 是邊長為 的等邊三角形, , 在 上,且 ∥面BDM.
(1)求直線PC與平面BDM所成角的正弦值;
(2)求平面BDM與平面PAD所成鋭二面角的大小.
23.(本小題滿分10分)
一隻袋中裝有編號為1,2,3,…,n的n個小球, ,這些小球除編號以外無任何區別,現從袋中不重複地隨機取出4個小球,記取得的4個小球的最大編號與最小編號的差的絕對值為 ,如 , 或 , 或 或 ,記 的數學期望為 .
(1)求 , ;
(2)求 .
2018屆鹽城市大學聯考理科數學模擬試卷答案一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,計70分.
1. 2. 2 3. 35 4. 5. 6. 7 7.
8. 1 9. 10. 11. 2056 12. 3 13.10 14.
二、解答題:本大題共6小題,計90分.解答應寫出必要的文字説明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區域內.
15.證明:(1)在四稜柱 中,有 . ……………4分
又 平面 , 平面 ,所以 平面 . ……………6分
(2)因為平面 底面ABCD,交線為 ,
底面ABCD,且 ,所以 平面 . …………12分
又 平面 ,所以平面 平面 . …………14分
16.解:(1)設 的三邊長分別為 ,由 ,
得 ,得 . …………2分
即 ,所以 . …………4分
又 ,所以 ,故 . …………6分
(2)由 和 ,得 ,
又 ,所以 ,得 ①. …………8分
又 ,所以
. …………10分
在△ 中,由正弦定理,得 ,即 ,得 ②. …………12分
聯立①②,解得 ,即 . …………14分
17.解:方法一:如圖所示,以 所在直線為 軸,以線段
的垂直平分線為 軸,建立平面直角座標系.
因為 , ,所以直線 的方程為
,
即 . ...............4分
設圓心 ,由圓 與直線 相切,
得 ,
所以 . ...............8分
令 , ,則 , ...............10分
設 , . 列表如下:
- 0 +
減 極小值 增
所以當 ,即 時, 取最小值. ...............13分
答:當 時,立柱 最矮. ...............14分
方法二:如圖所示,延長 交於點 ,過點 作 於 ,
則 , .
在 中, . ...............4分
在 中, . ...............6分
所以 . ...............8分
(以下同方法一)
18.解:(1)由 軸,知 ,代入橢圓 的方程,
得 ,解得 . ...............2分
又 ,所以 ,解得 . ...............4分
(2)因為四邊形 是平行四邊形,所以 且 軸,
所以 ,代入橢圓 的方程,解得 , ...............6分
因為點 在第一象限,所以 ,同理可得 , , ................7分
所以 ,
由(1)知 ,得 ,所以 . ...............9分
(3)由(1)知 ,又 ,解得 ,所以橢圓 方程為 ,
圓 的方程為 ①. ...............11分
連接 ,由題意可知, , ,
所以四邊形 的.外接圓是以 為直徑的圓,
設 ,則四邊形 的外接圓方程為 ,
即 ②. ...............13分
①-②,得直線 的方程為 ,
令 ,則 ;令 ,則 . 所以 ,
因為點 在橢圓 上,所以 ,所以 . ...............16分
19.解:(1)因為函數 是奇函數,所以 恆成立, ……………2分
即 ,得 恆成立,
. ………………4分
(2)① ,設切點為 ,
則切線的斜率為 ,
據題意 是與 無關的常數,故 ,切點為 , ……………6分
由點斜式得切線的方程為 ,即 ,故 . …..………8分
② 當 時,對任意的 ,都有 ;
當 時,對任意的 ,都有 ;
故 對 恆成立,或 對 恆成立.
而 ,設函數 .
則 對 恆成立,或 對 恆成立, ………………10分
,
當 時, , , 恆成立,所以 在 上遞增, ,
故 在 上恆成立,符合題意. .…….. .………12分
當 時,令 ,得 ,令 ,得 ,
故 在 上遞減,所以 ,
而 設函數 ,
則 , 恆成立,
在 上遞增, 恆成立,
在 上遞增, 恆成立,
即 ,而 ,不合題意.
綜上 ,知實數 的取值範圍 . ………………16分
20.解:(1)設等差數列 的公差為 ,等比數列 的公比為 ,
由題意得, ,解得 或 ,因數列 單調遞增,
所以 ,所以 , ,所以 , . ...............2分
因為 , , , ,
所以 . ...............4分
(2)設等差數列 的公差為 ,又 ,且 ,
所以 ,所以 . 因為 是 中的項,所以設 ,即 .
當 時,解得 ,不滿足各項為正整數; ...............6分
當 時, ,此時 ,只需取 ,而等比數列 的項都是等差數列 中的項,所以 ; ...............8分
當 時, ,此時 ,只需取 ,
由 ,得 , 是奇數, 是正偶數, 有正整數解,
所以等比數列 的項都是等差數列 中的項,所以 . ...............10分
綜上所述,數列 的前 項和 或 . ...............11分
(3)存在等差數列 ,只需首項 ,公差 . ...............13分
下證 與 之間數列 的項數為 . 即證對任意正整數 ,都有 ,
即 成立.
由 ,
.
所以首項 ,公差 的等差數列 符合題意. ..............16分
附加題答案
21. A、解:設半徑為r,由切割線定理,
得 即 , ………………4分
在三角形DOF中,由勾股定理,得 ,
即 . ………………8分
由上兩式解得 . ………………10分
B、設曲線C上任一點為(x,y),經過變換T變成 ,則
,即 . ……………6分
又 ,得 . ……………10分
C、解:由題意得,直線 的直角座標方程為 , ……………4分
圓 的直角座標方程為 . ……………8分
則直線和曲線相切,得 . ……………10分
D、證:因為 ,所以由基本不等式,得
. ……………4分
三式相加,得 .
又 ,所以 . ……………10分
22.解:因為 , 作AD邊上的高PO,
則由 ,由面面垂直的性質定理,得 ,
又 是矩形,同理 ,知 , ,故 . …………2分
以AD中點O為座標原點,OA所在直線為x軸,OP所在直線為z軸,AD的垂直平分線y軸,建立如圖所示的座標系,則 ,
連結AC交BD於點N,由 ,
所以 ,又N是AC的中點,
所以M是PC的中點,則 , ………4分
設面BDM的法向量為 ,
,
,得 ,
令 ,解得 ,所以取 .
(1)設PC與面BDM所成的角為 ,則 ,
所以直線PC與平面BDM所成角的正弦值為 . ……………………6分
(2)面PAD的法向量為向量 ,設面BDM與面PAD所成的鋭二面角為 ,
則 ,故平面BDM與平面PAD所成鋭二面角的大小為 . …………………10分
3 4
23.解:(1) 的概率分佈為:
的概率分佈如下:
則 . ………………4分
(2) 方法一:
, ………………6分
………………10分
方法二:
得
猜想 . ………………6分
下面用數學歸納法證明.
證明:① 時猜想顯然成立;
②假設 時猜想成立,即 ,
則 ,
當 時
即 時命題也成立.
綜上①②,對一切 猜想都成立. ………………10分