2018屆上海市奉賢區大學聯考數學模擬試卷及答案

【考點】1E：交集及其運算.

【分析】求出關於A的不等式，根據集合的關係求出t的範圍即可.

【解答】解：A={x||x﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5}，

B={x|x

若A∩B=∅，

則實數t的取值範是：t≤﹣1;

故答案爲：(﹣∞，﹣1].

5.設點(9，3)在函數f(x)=loga(x﹣1)(a>0，a≠1)的圖象上，則f(x)的反函數f﹣1(x)=　2x+1　.

【考點】4R：反函數.

【分析】根據點(9，3)在函數f(x)=loga(x﹣1)(a>0，a≠1)的圖象上，求解出a，把x用y表示出來，把x與y互換可得f(x)的反函數f﹣1(x).

【解答】解：點(9，3)在函數f(x)=loga(x﹣1)(a>0，a≠1)的圖象上，

∴loga(9﹣1)=3，

可得：a=2，

則函數f(x)=y=log2(x﹣1)

那麼：x=2y+1.

把x與y互換可得：y=2x+1

∴f(x)的反函數f﹣1(x)=2x+1.

故答案爲：2x+1.

6.若x，y滿足 ，則目標函數z=x+2y的最大值爲　3　.

【考點】7C：簡單線性規劃.

【分析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求z的最大值.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：(陰影部分).

由z=x+2y得y=﹣ x+ z，

平移直線y=﹣ x+ z，

由圖象可知當直線y=﹣ x+ z經過點B時，直線y=﹣ x+ z的截距最大，

此時z最大.

由 ，解得 ，即B(1，1)，

代入目標函數z=x+2y得z=2×1+1=3

故答案爲：3.

7.在平面直角座標系xOy中，直線l的方程爲x+y﹣6=0，圓C的參數方程爲 ，則圓心C到直線l的距離爲　 　.

【考點】QK：圓的參數方程.

【分析】求出圓的普通方程，利用點到直線的距離公式，可得結論.

【解答】解：圓C的參數方程爲 ，普通方程爲x2+(y﹣2)2=4，圓心爲(0，2)，半徑爲2，

∴圓心C到直線l的距離爲 = ，

故答案爲 .

8.雙曲線 =1的左右兩焦點分別是F1，F2，若點P在雙曲線上，且∠F1PF2爲銳角，則點P的橫座標的取值範圍是　( ，+∞)∪(﹣∞，﹣ )　.

【考點】KC：雙曲線的簡單性質.

【分析】由題意畫出圖形，以P在雙曲線右支爲例，求出∠F1PF2爲直角時P的座標，可得∠F1PF2爲銳角時點P的橫座標的取值範圍

【解答】解：不妨以P在雙曲線右支爲例

由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，

又|PF1|﹣|PF2|=2，①

兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4，

∴|PF1||PF2|=6，②

聯立①②解得：|PF2|= ，

由焦半徑公式得|PF2|= =ex﹣a，即可得點P的橫座標爲 ，

根據對稱性，則點P的橫座標的取值範圍是( ) ).

故答案爲：是( ) )

9.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積爲　28π　.

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【分析】由題意可知，該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成，其表面積等於圓柱+圓錐在減去重疊或者多餘的部分.

【解答】解：由題意可知，該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成：其表面積等於圓錐側面積+圓柱側面+圓柱底面積.

圓錐S側=πrl=8π，圓柱側面+圓柱底面積=4×2πr+πr2=16π+4π=20π，

∴該幾何體的表面積爲28π.

故答案爲28π.

10.已知數列{an}是無窮等比數列，它的前n項的和爲Sn，該數列的首項是二項式 展開式中的x的係數，公比是複數 的模，其中i是虛數單位，則 =　70　.

【考點】8J：數列的極限.

【分析】由題意，該數列的首項是二項式 展開式中的x的係數 =35，公比是複數 的模 ，即可求出極限.

【解答】解：由題意，該數列的首項是二項式 展開式中的x的係數 =35，

公比是複數 的模 ，

∴ = =70，

故答案爲70.

11.已知實數x、y滿足方程(x﹣a+1)2+(y﹣1)2=1，當0≤y≤b(b∈R)時，由此方程可以確定一個偶函數y=f(x)，則拋物線 的焦點F到點(a，b)的軌跡上點的距離最大值爲　 　.

【考點】K8：拋物線的簡單性質;3J：偶函數;IR：兩點間的'距離公式.

【分析】由題設條件當0≤y≤b(b∈R)時，由此方程可以確定一個偶函數y=f(x)，可知方程(x﹣a+1)2+(y﹣1)2=1，關於y軸成軸對稱，故有﹣a+1=0，又由圓的幾何特徵及確定一個偶函數y=f(x)知，y的取值範圍是，由此可以求出b的取值範圍，由此點(a，b)的軌跡求知，再由拋物線的性質求得其焦點座標爲(0，﹣ )，最大距離可求

【解答】解：由題意可得圓的方程一定關於y軸對稱，故由﹣a+1=0，求得a=1

由圓的幾何性質知，只有當y≤1時，才能保證此圓的方程確定的函數是一個偶函數，故0

由此知點(a，b)的軌跡是一個線段，其橫座標是1，縱座標屬於(0，1]

又拋物線 故其焦點座標爲(0，﹣ )

由此可以判斷出焦點F到點(a，b)的軌跡上點的距離最大距離是 =

故答案爲

12.設x1、x2、x3、x4爲自然數1、2、3、4的一個全排列，且滿足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，則這樣的排列有　9　個.

【考點】D8：排列、組合的實際應用.

【分析】利用和值爲6，分解爲4個非負數的和，最大值爲3，最小值爲0，列出所有情況即可.

【解答】解：x1、x2、x3、x4爲自然數1、2、3、4的一個全排列，且滿足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6，

可得4個數的和爲6，共有，0+0+3+3=6;1+1+1+3=6;0+1+2+3=6;1+1+2+2=6;

所有x1、x2、x3、x4分別爲：

0+0+3+3=6;類型有：

4，2，3，1;

1+1+1+3=6;類型有：

2，3，4，1;

4，1，2，3;

0+1+2+3=6;類型有：

4，1，3，2;

4，2，1，3;

3，2，4，1;

2，4，3，1;

1+1+2+2=6;類型有：

2，4，1，3;

3，1，4，2;

共9種.

故答案爲：9.

二、選擇題(單項選擇題，每題5分，滿分20分)

13.已知x，y∈R，且x>y>0，則(　　)

A. ﹣ >0 ﹣siny>0 C.( )x﹣( )y<0 +lny>0

【考點】71：不等關係與不等式.

【分析】x，y∈R，且x>y>0，可得： ，sinx與siny的大小關係不確定， < ，lnx+lny與0的大小關係不確定，即可判斷出結論.

【解答】解：∵x，y∈R，且x>y>0，則 ，sinx與siny的大小關係不確定， < ，即 ﹣ <0，lnx+lny與0的大小關係不確定.

故選：C.

14.若f(x)爲奇函數，且x0是y=f(x)﹣ex的一個零點，則﹣x0一定是下列哪個函數的零點(　　)

A.y=f(x)ex+1 B.y=f(﹣x)e﹣x﹣1 C.y=f(x)ex﹣1 D.y=f(﹣x)ex+1

【考點】52：函數零點的判定定理;3L：函數奇偶性的性質.

【分析】由x0是y=f(x)﹣ex的一個零點知f(x0)﹣ =0，再結合f(x)爲奇函數知f(﹣x0)+ =0，從而可得f(﹣x0) +1= =0.

【解答】解：∵x0是y=f(x)﹣ex的一個零點，

∴f(x0)﹣ =0，

又∵f(x)爲奇函數，

∴f(﹣x0)=﹣f(x0)，

∴﹣f(﹣x0)﹣ =0，

即f(﹣x0)+ =0，

故f(﹣x0) +1= =0;

故﹣x0一定是y=f(x)ex+1的零點，

故選：A.

15.矩形紙片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm.將其按圖(1)的方法分割，並按圖(2)的方法焊接成扇形;按圖(3)的方法將寬BC 2等分，把圖(3)中的每個小矩形按圖(1)分割並把4個小扇形焊接成一個大扇形;按圖(4)的方法將寬BC 3等分，把圖(4)中的每個小矩形按圖(1)分割並把6個小扇形焊接成一個大扇形;…;依次將寬BC n等分，每個小矩形按圖(1)分割並把2n個小扇形焊接成一個大扇形.當n→∞時，最後拼成的大扇形的圓心角的大小爲(　　)

A.小於 B.等於 C.大於 D.大於1.6

【考點】F4：進行簡單的合情推理.

【分析】當n無限大時，扇形的半徑應該無限接近10，而扇形的弧長應該無限接近8+8=16，那麼圓心角=16×180÷π÷10≈92°，即可得出結論.

【解答】解：將寬BC n等分，當n無限大時，扇形的半徑應該無限接近10，而扇形的弧長應該無限接近8+8=16，那麼圓心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n無限大時，大扇形的圓心角應該大於90°.

故選C.

16.如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.O是△ABC的外心，OD⊥BC於D，OE⊥AC於E，OF⊥AB於F，則OD：OE：OF等於(　　)

A.a：b：c B.

：sinB：sinC ：cosB：cosC

【考點】HT：三角形中的幾何計算.

【分析】作出△ABC的外接圓，連接OA、OB、OC，由垂徑定理和圓周角定理可得∠B= ∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若設⊙O的半徑爲R，可用R分別表示出OD、OE、OF，進而可得到它們的比例關係.

【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC;

∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，

∴∠BAC=∠BOD;

同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC;

設⊙O的半徑爲R，則：

OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，

OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，

OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，

故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，

故選D.

三、解答題(第17-19題每題14分，第20題16分，第21題18分，滿分76分)

17.如圖，圓錐的底面圓心爲O，直徑爲AB，C爲半圓弧AB的中點，E爲劣弧CB的中點，且AB=2PO=2 .

(1)求異面直線PC與OE所成的角的大小;

(2)求二面角P﹣AC﹣E的大小.

【考點】MT：二面角的平面角及求法;LM：異面直線及其所成的角.

【分析】(1)方法(1)根據中點條件可以證明OE∥AC，∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角;

解△PCA可得異面直線PC與OE所成的角

方法(2)如圖，建立空間直角座標系， ，E(1，1，0)

利用向量的夾角公式可得異面直線PC與OE所成的角

(2)、方法(1)、求出平面APC的法向量，平面ACE的法向量，利用向量法求解.

方法(2)、取AC中點爲D，連接PD，OD，可得二面角P﹣AC﹣E的平面角即爲∠PDO

解Rt△PDO，可得二面角P﹣AC﹣E的大小

【解答】解：(1)證明：方法(1)∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，

根據中點條件可以證明OE∥AC，得∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角;

所以

異面直線PC與OE所成的角是

(1)方法(2)如圖，建立空間直角座標系， ，E(1，1，0)

∴ ， ， ，

設 與 夾角θ，

異面直線PC與OE所成的角 .

(2)、方法(1)、設平面APC的法向量 ，∴ ，

平面ACE的法向量 ，

設兩平面的夾角α，則 ，

所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos .

方法(2)、取AC中點爲D，連接PD，OD，又圓錐母線PA=AC，∴PD⊥AC，

∵底面圓O上OA=OC∴OD⊥AC，

又E爲劣弧CB的中點，即有E∈底面圓O，

∴二面角P﹣AC﹣E的平面角即爲∠PDO，

∵C爲半圓弧AB的中點，∴∠AOC=90°又直徑 ，

∴ ，

∵PO⊥底面圓O且OD⊂底面圓O，∴PO⊥OD，

又 ∴△Rt△PDO中， ，

∴ 所以二面角P﹣AC﹣E的大小是arccos .

18.已知美國蘋果公司生產某款iphone手機的年固定成本爲40萬美元，每生產1只還需另投入16美元.設蘋果公司一年內共生產該款iphone手機x萬隻並全部銷售完，每萬隻的銷售收入爲R(x)萬美元，且R(x)=

(1)寫出年利潤W(萬元)關於年產量x(萬隻)的函數解析式;

(2)當年產量爲多少萬隻時，蘋果公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大?並求出最大利潤.

【考點】57：函數與方程的綜合運用.

【分析】(1)利用利潤等於收入減去成本，可得分段函數解析式;

(2)分段求出函數的最大值，比較可得結論.

【解答】解：(1)利用利潤等於收入減去成本，可得

當040時，W=xR(x)﹣(16x+40)=

∴W= ;

(2)當0

當x>40時，W= ≤﹣2 +7360，

當且僅當 ，即x=50時，Wmax=W(50)=5760

∵6104>5760

∴x=32時，W的最大值爲6104萬美元.

19.如圖，半徑爲1的半圓O上有一動點B，MN爲直徑，A爲半徑ON延長線上的一點，且OA=2，∠AOB的角平分線交半圓於點C.

(1)若 ，求cos∠AOC的值;

(2)若A，B，C三點共線，求線段AC的長.

【考點】HT：三角形中的幾何計算.

【分析】(1)若 ，利用向量的數量積公式，即可求cos∠AOC的值;

(2)若A，B，C三點共線，可得 ，利用餘弦定理，即可求線段AC的長.

【解答】解：(1)設∠AOC=θ， ， ∴

=4+1×2×cos(π﹣2θ)+1×2×cos(π﹣θ)+cosθ

=﹣4cos2θ﹣cosθ+6

∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3，∴ (捨去)

(2)A，B，C三點共線，

所以 ∴

∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴ .

20.已知數列{an}的前n項和爲Sn，且Sn=2an﹣2(n∈N*).

(1)求{an}的通項公式;

(2)設 ，b1=8，Tn是數列{bn}的前n項和，求正整數k，使得對任意n∈N*均有Tk≥Tn恆成立;

(3)設 ，Rn是數列{cn}的前n項和，若對任意n∈N*均有Rn<λ恆成立，求λ的最小值.

【考點】8H：數列遞推式;8E：數列的求和.

【分析】(1)利用已知條件推出an+1=2an，數列{an}爲等比數列，公比q=2，求出通項公式.

(2)推出 ，方法一：通過T1T6>推出結果.方法二利用錯位相減法求和，當1≤n<4，Tn+1>Tn，當n=4，T4=T5，當n>4時，Tn+1

綜上，當且僅當k=4或5時，均有Tk≥Tn.

(3)利用裂項求和，通過對任意n∈N*均有 成立，求解即可.

【解答】(本小題滿分13分)

解：(1)由Sn=2an﹣2，得Sn+1=2an+1﹣2兩式相減，得an+1=2an+1﹣2an

∴an+1=2an

數列{an}爲等比數列，公比q=2

又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴

(2)

，

方法一當n≤5時， ≥0

因此，T1T6>…

∴對任意n∈N*均有T4=T5≥Tn，故k=4或5.

方法二(

兩式相減，得 ，

=(6﹣n)•2n+1﹣12， ，

當1≤n<4，Tn+1>Tn，當n=4，T4=T5，當n>4時，Tn+1

綜上，當且僅當k=4或5時，均有Tk≥Tn

(3)∵

∴ =

∵對任意n∈N*均有 成立，

∴ ，

所以λ的最小值爲 .

21.已知橢圓E： ，左焦點是F1.

(1)若左焦點F1與橢圓E的短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點 在橢圓E上.求橢圓E的方程;

(2)過原點且斜率爲t(t>0)的直線l1與(1)中的橢圓E交於不同的兩點G，H，設B1(0，1)，A1(2，0)，求四邊形A1GB1H的面積取得最大值時直線l1的方程;

(3)過左焦點F1的直線l2交橢圓E於M，N兩點，直線l2交直線x=﹣p(p>0)於點P，其中p是常數，設 ， ，計算λ+μ的值(用p，a，b的代數式表示).

【考點】KQ：圓錐曲線的定值問題;K3：橢圓的標準方程;KL：直線與橢圓的位置關係.

【分析】(1)利用左焦點F1與橢圓E的短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點 在橢圓E上.列出方程組求解a，b可得橢圓方程.

(2)設直線l1的方程y=tx，聯立 ，求解 ， ， ，推出四邊形A1GB1H的面積，求出最大值，然後求解直線方程.

(3)設直線l2的方程y=k(x+c)交橢圓b2x2+a2y2﹣a2b2=0於M(x1，y1)，N(x2，y2)，利用韋達定理，結合

題設 ， ，求解λ+μ即可.

【解答】(本小題滿分13分)

解：(1)左焦點F1與橢圓E的短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點 在橢圓E上.

∴ ，所以橢圓方程

(2)設直線l1的方程y=tx

聯立 ，可以計算

∴ ，

所以直線l1的方程是

(3)設直線l2的方程y=k(x+c)交橢圓b2x2+a2y2﹣a2b2=0於M(x1，y1)，N(x2，y2)，

(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，

直線l2交直線x=﹣p(p>0)於點P，根據題設 ， ，

得到(x1+p，yp)=λ(﹣c﹣x1，0﹣y1)，(x1+p，yp)=λ(﹣c﹣x2，0﹣y2)，

得 ，

=

=

λ+μ的值爲： 結論