2017七年級數學期末考試試卷

2017七年級數學期末考試的日子很接近了，複習的過程雖然很辛苦，但是汗水是最美的書。以下是學習啦小編爲你整理的2017七年級數學期末考試試卷，希望對大家有幫助!

一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

1.﹣3的相反數是(　　)

A.3 B.﹣3 C. D.﹣

2.運用等式性質進行的變形，正確的是(　　)

A.如果a=b，則a+c=b﹣c B.如果a2=3a，那麼a=3

C.如果a=b，則 = D.如果 = ，則a=b

3.直四棱柱、長方體和正方體之間的包含關係是(　　)

A. B. C. D.

4.下列說法中，錯誤的是(　　)

A.﹣2a2b與ba2是同類項

B.對頂角相等

C.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

D.垂線段最短

5.如圖，直線a、b與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=180°，其中能判斷a∥b的條件有(　　)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

6.一根竹竿插入到池塘中，插入池塘淤泥中的部分佔全長的 ，水中部分是淤泥中部分的2倍少1米，露出水面的竹竿長1米.設竹竿的長度爲x米，則可列出方程(　　)

A. x=1 B. x+1=x

C. x﹣1+1=x D. x+1+1=x

二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

7.請寫出一個負無理數　　.

8.今年某市參加會考的考生共約11萬人，用科學記數法表示11萬人是　　人.

9.若2x|m|﹣1=5是一元一次方程，則m的值爲　　.

10.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的名稱是　　.

11.多項式2a2﹣4a+1與多項式﹣3a2+2a﹣5的差是　　.

12.小明根據方程5x+2=6x﹣8編寫了一道應用題，請你把空缺的部分補充完整.

某手工小組計劃教師節前做一批手工品贈給老師，如果每人做5個，那麼就比計劃少2個;　　，請問手工小組有幾人?(設手工小組有x人)

13.如圖是一個正方體展開圖，把展開圖摺疊成正方體後，“我”字一面的相對面上的字是　　.

14.如圖，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東85°方向，則∠ACB的度數爲　　.

15.如圖，將△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周長是16cm，那麼四邊形ABFD的周長是　　.

16.按下面的程序計算，若開始輸入的值x爲正數，最後輸出的結果爲11，則滿足條件的x的不同值分別爲　　.

三、解答題(本大題共12小題，共102分)

17.計算：

(1)[﹣5﹣(﹣11)]÷(﹣ ÷ );

(2)﹣22﹣ ×2+(﹣2)3÷(﹣ ).

18.解方程：

(1)6+2x=14﹣3x(寫出檢驗過程);

(2) =1.

19.如圖，點B在線段AD上，C是線段BD的中點，AD=10，BC=3.求線段CD、AB的長度.

20.一個角的補角加上10°後，等於這個角的餘角的3倍，求這個角以及它的餘角和補角的度數.

21.化簡求值：(3ab2﹣a2b)﹣2(2ab2﹣a2b)，其中a=1，b=﹣2.

22.證明：多項式16+a﹣{8a﹣[a﹣9﹣3(1﹣2a)]}的值與字母a的取值無關.

23.如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，∠B=30°.求∠GDB的度數.

請將求∠GDB度數的過程填寫完整.

解：因爲EF⊥BC，AD⊥BC，

所以∠BFE=90°，∠BDA=90°，理由是　　，

即∠BFE=∠BDA，所以EF∥　　，理由是　　，

所以∠2=　　，理由是　　.

因爲∠1=∠2，所以∠1=∠3，

所以AB∥　　，理由是　　，

所以∠B+　　=180°，理由是　　.

又因爲∠B=30°，所以∠GDB=　　.

24.如圖，點P是∠AOB的邊OB上的一點過點P畫OB的垂線，交OA於點C;

(1)過點P畫OA的垂線，垂足爲H;

(2)線段PH的長度是點P到　　的距離，　　是點C到直線OB的距離.線段PC、PH、OC這三條線段大小關係是　　(用“<”號連接)

25.週末小明陪爸爸去陶瓷商城購買一些茶壺和茶杯，瞭解情況後發現甲、乙兩家商店都在出售兩種同樣品牌的茶壺和茶杯，定價相同：茶壺每把定價30元，茶杯每隻定價5元.兩家都有優惠：甲店買一送一大酬賓(買一把茶壺贈送茶杯一隻);乙店全場9折優惠.小明爸爸需茶壺5把，茶杯x只(x不小於5).

(1)若在甲店購買，則總共需要付　　 元;若在乙店購買，則總共需要付　　 元.(用含x的代數式表示並化簡.)

(2)當需購買15只茶杯時，請你去辦這件事，你打算去哪家商店購買?爲什麼?

26.某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》裏這樣一首詩：我問開店李三公，衆客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.詩中後兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那麼有7人無房可住;如果每一間客房住9人，那麼就空出一間房.

(1)求該店有客房多少間?房客多少人?

(2)假設店主李三公將客房進行改造後，房間數大大增加.每間客房收費20錢，且每間客房最多入住4人，一次性定客房18間以上(含18間)，房費按8折優惠.若詩中“衆客”再次一起入住，他們如何訂房更合算?請寫出你作出這種決策的理由.

27.(1)觀察思考

如圖，線段AB上有兩個點C、D，請分別寫出以點A、B、C、D爲端點的線段，並計算圖中共有多少條線段;

(2)模型構建

如果線段上有m個點(包括線段的兩個端點)，則該線段上共有多少條線段?請說明你結論的正確性;

(3)拓展應用

8位同學參加班上組織的象棋比賽，比賽採用單循環制(即每兩位同學之間都要進行一場比賽)，那麼一共要進行多少場比賽?

請將這個問題轉化爲上述模型，並直接應用上述模型的結論解決問題.

28.如圖，OB、OC是∠AOD的兩條射線，OM和ON分別是∠AOB和∠COD內部的一條射線，且∠AOD=α，∠MON=β.

(1)當∠AOM=∠BOM，∠DON=∠CON時，試用含α和β的代數式表示∠BOC;

(2)①當∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON時，∠BOC等於多少?(用含α和β的代數式表示)

②當∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON時，∠BOC等於多少?(用含α和β的代數式表示)

(3)根據上面的結果，請填空：當∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON時，∠BOC=　　.(n是正整數)(用含α和β的代數式表示).

一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

1.﹣3的相反數是(　　)

A.3 B.﹣3 C. D.﹣

【考點】相反數.

【分析】根據相反數的概念解答即可.

【解答】解：﹣3的相反數是3，

故選：A.

2.運用等式性質進行的變形，正確的是(　　)

A.如果a=b，則a+c=b﹣c B.如果a2=3a，那麼a=3

C.如果a=b，則 = D.如果 = ，則a=b

【考點】等式的性質.

【分析】根據等式的性質對每一項分別進行分析，即可得出正確答案.

【解答】解：A、根據等式性質1，兩邊都加c，得到a+c=b+c，故A不正確;

B、因爲根據等式性質2，a≠0，所以不正確;

C、因爲c必需不爲0，所以不正確;

D、根據等式性質2，兩邊都乘以c，得到a=b，所以D成立;

故選D.

3.直四棱柱、長方體和正方體之間的包含關係是(　　)

A. B. C. D.

【考點】認識立體圖形.

【分析】根據長方體與正方體的關係，可得答案.

【解答】解：長方體是特殊的直四棱柱，正方體是特殊的長方體，

故選：B.

4.下列說法中，錯誤的是(　　)

A.﹣2a2b與ba2是同類項

B.對頂角相等

C.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

D.垂線段最短

【考點】平行公理及推論;同類項;對頂角、鄰補角;垂線段最短.

【分析】A、根據同類項的定義進行判斷;

B、根據對頂角的性質進行判斷;

C、根據平行公理進行判斷;

D、根據垂線段的性質進行判斷.

【解答】解：A、﹣2a2b與ba2是同類項，故本選項錯誤;

B、對頂角相等，故本選項錯誤;

C、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項正確;

D、從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短，故本選項錯誤;

故選：C.

5.如圖，直線a、b與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=180°，其中能判斷a∥b的條件有(　　)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【考點】平行線的判定.

【分析】根據平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行;內錯角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行進行分析即可.

【解答】解：①∠1=∠2可根據同位角相等，兩直線平行得到a∥b;

②∠3=∠6可根據內錯角相等，兩直線平行得到a∥b;

③∠4+∠7=180°可得∠6+∠7=180°，可根據同旁內角互補，兩直線平行得到a∥b;

④∠5+∠8=180°可得∠3+∠2=180°，可根據同旁內角互補，兩直線平行得到a∥b;

故選：D.

6.一根竹竿插入到池塘中，插入池塘淤泥中的部分佔全長的 ，水中部分是淤泥中部分的2倍少1米，露出水面的竹竿長1米.設竹竿的長度爲x米，則可列出方程(　　)

A. x=1 B. x+1=x

C. x﹣1+1=x D. x+1+1=x

【考點】由實際問題抽象出一元一次方程.

【分析】根據題意可以列出相應的方程，從而可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

，

故選C.

二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

7.請寫出一個負無理數　﹣ (答案不唯一)　.

【考點】無理數.

【分析】根據無理數是無限不循環小數進行解答即可.

【解答】解：由無理數的定義可知，﹣ 、﹣ …是負無理數.

故答案爲：﹣ (答案不唯一).

8.今年某市參加會考的考生共約11萬人，用科學記數法表示11萬人是　1.1×105　人.

【考點】科學記數法—表示較大的數.

【分析】科學記數法的表示形式爲a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n爲整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數;當原數的絕對值<1時，n是負數.

【解答】解：11萬=11 0000=1.1×105，

故答案爲：1.1×105.

9.若2x|m|﹣1=5是一元一次方程，則m的值爲　±2　.

【考點】一元一次方程的定義.

【分析】利用一元一次方程的定義判斷即可.

【解答】解：∵2x|m|﹣1=5是一元一次方程，

∴|m|﹣1=1，即|m|=2，

解得：m=±2，

故答案爲：±2

10.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的名稱是　圓柱　.

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

【解答】解：根據主視圖和左視圖爲長方形判斷出是柱體，根據俯視圖是圓形可判斷出這個幾何體應該是圓柱，

故答案爲：圓柱.

11.多項式2a2﹣4a+1與多項式﹣3a2+2a﹣5的差是　5a2﹣6a+6　.

【考點】整式的加減.

【分析】根據題意列出關係式，去括號合併即可得到結果.

【解答】解：(2a2﹣4a+1)﹣(﹣3a2+2a﹣5)

=2a2﹣4a+1+3a2﹣2a+5

=5a2﹣6a+6.

故答案爲5a2﹣6a+6.

12.小明根據方程5x+2=6x﹣8編寫了一道應用題，請你把空缺的部分補充完整.

某手工小組計劃教師節前做一批手工品贈給老師，如果每人做5個，那麼就比計劃少2個;　如果每人做6個，那麼就比計劃多8個　，請問手工小組有幾人?(設手工小組有x人)

【考點】一元一次方程的應用.

【分析】根據等號左邊的式子可以看出，表示實際需要禮物個數，仿照所給題意的前半部分寫出所缺部分.

【解答】解：等號左邊5x+2，表示實際需要禮物個數，那麼等號右邊也應表示實際需要禮物個數，

則6x﹣8表示：如果每人做6個，那麼就比計劃多8個.

13.如圖是一個正方體展開圖，把展開圖摺疊成正方體後，“我”字一面的相對面上的字是　夢　.

【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字.

【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特點作答.

【解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，

“我”與“夢”是相對面，

“們”與“中”是相對面，

“的”與“國”是相對面.

故答案爲：夢.

14.如圖，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東85°方向，則∠ACB的度數爲　80°　.

【考點】方向角.

【分析】根據方向角，可得∠1，∠2，∠3的度數，根據平行線的性質，可得∠5，的度數，根據角的和差，可得∠2，4的度數，根據三角形的內角和定理，可得答案.、

【解答】解：如圖：

，

B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東85°方向，

∴∠1=45°∠2=85°，∠3=15°，

由平行線的性質得∠5=∠1=45°.

由角的和差得

∠6=∠2﹣∠5=85°﹣45°=40°，

∠4=∠1+∠3=45°+15°=60°，

由三角形的內角和定理得∠ACB=180°﹣∠6﹣∠4=180°﹣40°﹣60°=80°，

故答案爲：80°.

15.如圖，將△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周長是16cm，那麼四邊形ABFD的周長是　20cm　.

【考點】平移的性質.

【分析】根據平移的性質可得DF=AE，然後判斷出四邊形ABFD的周長=△ABE的周長+AD+EF，然後代入數據計算即可得解.

【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，

∴DF=AE，

∴四邊形ABFD的周長=AB+BE+DF+AD+EF，

=AB+BE+AE+AD+EF，

=△ABE的周長+AD+EF，

∵平移距離爲2cm，

∴AD=EF=2cm，

∵△ABE的周長是16cm，

∴四邊形ABFD的周長=16+2+2=20cm.

故答案爲：20cm.

16.按下面的程序計算，若開始輸入的值x爲正數，最後輸出的結果爲11，則滿足條件的x的不同值分別爲　5，2，0.5　.

【考點】代數式求值.

【分析】解答本題的關鍵就是弄清楚題圖給出的計算程序.由於代入x計算出y的值是11>10，符合要求，所以x=5即也可以理解成y=5，把y=5代入繼續計算，得x=2，依此類推就可求出5，2，0.5.

【解答】解：依題可列，

y=2x+1，

把y=11代入可得：x=5，即也可以理解成y=5，

把y=5代入繼續計算可得：x=2，

把y=2代入繼續計算可得：x=0.5，

把y=0.5代入繼續計算可得：x<0，不符合題意，捨去.

∴滿足條件的x的不同值分別爲5，2，0.5.

三、解答題(本大題共12小題，共102分)

17.計算：

(1)[﹣5﹣(﹣11)]÷(﹣ ÷ );

(2)﹣22﹣ ×2+(﹣2)3÷(﹣ ).

【考點】有理數的混合運算.

【分析】(1)原式先計算括號中的運算，再計算除法運算即可得到結果;

(2)原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最後算加減運算即可得到結果.

【解答】解：(1)原式=6÷(﹣ ×4)=6÷(﹣6)=﹣1;

(2)原式=﹣4﹣3+(﹣8)÷(﹣ )=﹣4﹣3+16=9.

18.解方程：

(1)6+2x=14﹣3x(寫出檢驗過程);

(2) =1.

【考點】解一元一次方程.

【分析】(1)方程移項合併，把x係數化爲1，求出解，檢驗即可;

(2)方程去分母，去括號，移項合併，把x係數化爲1，即可求出解.

【解答】解：(1)移項得：3x+2x=14﹣6，

合併得：5x=8，

解得：x=1.6，

當x=1.6時，左邊=6+3.2=9.2，右邊=14﹣4.8=9.2，

∵左邊=右邊，

∴x=1.6是方程的解;

(2)去分母得：3(x+2)﹣2(2x﹣3)=12，

去括號得：3x+6﹣4x+6=12，

解得：x=0.

19.如圖，點B在線段AD上，C是線段BD的中點，AD=10，BC=3.求線段CD、AB的長度.

【考點】兩點間的距離.

【分析】根據線段中點的定義可得BC=CD;再根據AB=AD﹣BC﹣CD，代入數據進行計算即可得解.

【解答】解：∵C是線段BD的中點，

∴BC=CD，

∵BC=3，

∴CD=3;

由圖形可知，AB=AD﹣BC﹣CD，

∵AD=10，BC=3，

∴AB=10﹣3﹣3=4.

20.一個角的補角加上10°後，等於這個角的餘角的.3倍，求這個角以及它的餘角和補角的度數.

【考點】餘角和補角.

【分析】設這個角爲x°，則得出方程180﹣x+10=3(90﹣x)，求出即可.

【解答】解：設這個角爲x°，

則180﹣x+10=3(90﹣x)，

解得：x=40.

即這個角的餘角是50°，補角是140°.

21.化簡求值：(3ab2﹣a2b)﹣2(2ab2﹣a2b)，其中a=1，b=﹣2.

【考點】整式的加減—化簡求值.

【分析】先化簡，然後將a與b的值代入即可求出答案.

【解答】解：原式=3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b

=﹣ab2+a2b，

當a=1，b=﹣2時，

原式=﹣1×1×4+1×(﹣2)

=﹣6;

22.證明：多項式16+a﹣{8a﹣[a﹣9﹣3(1﹣2a)]}的值與字母a的取值無關.

【考點】整式的加減.

【分析】先將多項式16+a﹣{8a﹣[a﹣9﹣3(1﹣2a)]}進行化簡，化簡時去括號，然後合併同類項，以此來判斷是否與a的取值無關.

【解答】證明：16+a﹣{8a﹣[a﹣9﹣3(1﹣2a)]}

=16+a﹣{8a﹣[a﹣9﹣3+6a]}

=16+a﹣{8a﹣a+9+3+6a}

=16+a﹣8a+a﹣9﹣3+6a

=4.

故多項式的值與a的值無關.

23.如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，∠B=30°.求∠GDB的度數.

請將求∠GDB度數的過程填寫完整.

解：因爲EF⊥BC，AD⊥BC，

所以∠BFE=90°，∠BDA=90°，理由是　垂直的定義　，

即∠BFE=∠BDA，所以EF∥　AD　，理由是　同位角相等，兩直線平行　，

所以∠2=　∠3　，理由是　兩直線平行，同位角相等　.

因爲∠1=∠2，所以∠1=∠3，

所以AB∥　DG　，理由是　內錯角相等，兩直線平行　，

所以∠B+　∠GDB　=180°，理由是　兩直線平行，同旁內角互補　.

又因爲∠B=30°，所以∠GDB=　150°　.

【考點】平行線的判定與性質.

【分析】先根據垂直的定義得出∠BFE=90°，∠BDA=90°，故可得出EF∥AD，再由平行線的性質得出∠2=∠3，利用等量代換得出∠1=∠3，故AB∥DG，再由∠B=30°即可得出結論.

【解答】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，

∴∠BFE=90°，∠BDA=90°(垂直的定義)，即∠BFE=∠BDA，

∴EF∥AD(同位角相等，兩直線平行)，

∴∠2=∠3(兩直線平行，同位角相等).

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴AB∥DG(內錯角相等，兩直線平行)

∴∠B+∠GDB=180°(兩直線平行，同旁內角互補).

又∵∠B=30°，

∴∠GDB=150°.

故答案爲：垂直的定義，AD，同位角相等，兩直線平行，∠3，兩直線平行，同位角相等，DG，內錯角相等，兩直線平行，∠GDB，兩直線平行，同旁內角互補，150°.

24.如圖，點P是∠AOB的邊OB上的一點過點P畫OB的垂線，交OA於點C;

(1)過點P畫OA的垂線，垂足爲H;

(2)線段PH的長度是點P到　OA　的距離，　線段CP的長度　是點C到直線OB的距離.線段PC、PH、OC這三條線段大小關係是　PH

【考點】點到直線的距離;垂線段最短.

【分析】(1)過點P畫OA的垂線，即過點P畫∠PHO=90°即可，

(2)利用點到直線的距離可以判斷線段PH的長度是點P到OA的距離，PC是點C到直線OB的距離，線段PC、PH、OC這三條線段大小關係是PH

【解答】解：(1)如圖：

(2)線段PH的長度是點P到直線OA的距離，

線段CP的長度是點C到直線OB的距離，

根據垂線段最短可得：PH

故答案爲：OA，線段CP，PH

25.週末小明陪爸爸去陶瓷商城購買一些茶壺和茶杯，瞭解情況後發現甲、乙兩家商店都在出售兩種同樣品牌的茶壺和茶杯，定價相同：茶壺每把定價30元，茶杯每隻定價5元.兩家都有優惠：甲店買一送一大酬賓(買一把茶壺贈送茶杯一隻);乙店全場9折優惠.小明爸爸需茶壺5把，茶杯x只(x不小於5).

(1)若在甲店購買，則總共需要付　5x+125　 元;若在乙店購買，則總共需要付　4.5x+135　 元.(用含x的代數式表示並化簡.)

(2)當需購買15只茶杯時，請你去辦這件事，你打算去哪家商店購買?爲什麼?

【考點】列代數式.

【分析】(1)由題意可知，在甲店買一把茶壺贈送茶杯一隻，故需付5只茶壺的錢和x﹣5只茶杯的錢，已知茶壺和茶杯的錢，可列出付款關於x的式子;在乙店購買全場9折優惠，同理也可列出付款關於x的式子;

(2)計算後判斷即可.

【解答】解：(1)設購買茶杯x只，

在甲店買一把茶壺贈送茶杯一隻，且茶壺每把定價30元、茶杯每隻定價5元，

故在甲店購買需付：5×30+5×(x﹣5)=5x+125;

在乙店購買全場9折優惠，

故在乙店購買需付：30×0.9×5+5×0.9×x=4.5x+135;

(2)選擇甲店購買，理由：到甲店購買需要200元，到乙店購買需要202.5元.

∵200<202.5，

∴選擇甲店購買，

故答案爲：(1)(5x+125)，(4.5x+135)

26.某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》裏這樣一首詩：我問開店李三公，衆客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.詩中後兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那麼有7人無房可住;如果每一間客房住9人，那麼就空出一間房.

(1)求該店有客房多少間?房客多少人?

(2)假設店主李三公將客房進行改造後，房間數大大增加.每間客房收費20錢，且每間客房最多入住4人，一次性定客房18間以上(含18間)，房費按8折優惠.若詩中“衆客”再次一起入住，他們如何訂房更合算?請寫出你作出這種決策的理由.

【考點】一元一次方程的應用.

【分析】(1)根據題意設出房間數，進而表示出總人數得出等式方程求出即可;

(2)根據已知條件分別列出兩種住房方法所用的錢數，進而比較即可.

【解答】解：(1)設客房有x間，則根據題意可得：

7x+7=9x﹣9，

解得x=8;

即客人有7×8+7=63(人);

答：客人有63人.

(2)如果每4人一個房間，需要63÷4=15 ，需要16間客房，總費用爲16×20=320(錢)，

如果定18間，其中有四個人一起住，有三個人一起住，則總費用=18×20×0.8=288(錢)<320錢，

所以他們再次入住定18間房時更合算.

答：他們再次入住定18間房時更合算.

27.(1)觀察思考

如圖，線段AB上有兩個點C、D，請分別寫出以點A、B、C、D爲端點的線段，並計算圖中共有多少條線段;

(2)模型構建

如果線段上有m個點(包括線段的兩個端點)，則該線段上共有多少條線段?請說明你結論的正確性;

(3)拓展應用

8位同學參加班上組織的象棋比賽，比賽採用單循環制(即每兩位同學之間都要進行一場比賽)，那麼一共要進行多少場比賽?

請將這個問題轉化爲上述模型，並直接應用上述模型的結論解決問題.

【考點】直線、射線、線段.

【分析】(1)從左向右依次固定一個端點A，C，D找出線段，最後求和即可;

(2)根據數線段的特點列出式子化簡即可;

(3)將實際問題轉化成(2)的模型，藉助(2)的結論即可得出結論.

【解答】解：(1)∵以點A爲左端點向右的線段有：線段AB、AC、AD，

以點C爲左端點向右的線段有線段CD、CB，

以點D爲左端點的線段有線段DB，

∴共有3+2+1=6條線段;

(2) ，

理由：設線段上有m個點，該線段上共有線段x條，

則x=(m﹣1)+(m﹣2)+(m﹣3)+…+3+2+1，

∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m﹣3)+(m﹣2)+(m﹣1)，

∴2x= =m(m﹣1)，

∴x= ;

(3)把8位同學看作直線上的8個點，每兩位同學之間的一場比賽看作爲一條線段，

直線上8個點所構成的線段條數就等於比賽的場數，

因此一共要進行 =28場比賽.

28.如圖，OB、OC是∠AOD的兩條射線，OM和ON分別是∠AOB和∠COD內部的一條射線，且∠AOD=α，∠MON=β.

(1)當∠AOM=∠BOM，∠DON=∠CON時，試用含α和β的代數式表示∠BOC;

(2)①當∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON時，∠BOC等於多少?(用含α和β的代數式表示)

②當∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON時，∠BOC等於多少?(用含α和β的代數式表示)

(3)根據上面的結果，請填空：當∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON時，∠BOC=　 β﹣ α　.(n是正整數)(用含α和β的代數式表示).

【考點】角的計算.

【分析】(1)根據∠BOC=∠MON﹣∠BOM﹣∠CON，等量代換即可表示出∠BOC的大小;

(2)①當∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON時，等量代換即可表示出∠BOC的大小;②當∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON時，等量代換即可表示出∠BOC的大小;

(3)當∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON時，等量代換即可表示出∠BOC的大小;

【解答】(1)∵∠AOM=∠BOM= ∠AOB，∠CON=∠DON= ∠COD，

∵∠BOC=∠MON﹣∠BOM﹣∠CON=∠MON﹣ ∠AOB﹣ ∠COD=∠MON﹣ (∠AOB+∠COD)=∠MON﹣ (∠AOD﹣∠BOC)=β﹣ (α﹣∠BOC)=β﹣ α+ ∠BOC，

則∠BOC=2β﹣α.

(2)①當∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON時，

∵∠BOM+∠CON= (∠AOM+∠DON)= (α﹣β)，

∴∠BOC=∠MON﹣(∠BOM+∠CON)=β﹣ (α﹣β)= β﹣ α;

②當∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON時，

∵∠BOM+∠CON= (∠AOM+∠DON)= (α﹣β)，

∴∠BOC=∠MON﹣(∠BOM+∠CON)=β﹣ (α﹣β)= β﹣ α;

(3)當∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON時，

∵∠BOM+∠CON= (∠AOM+∠DON)= (α﹣β)，

∴∠BOC=∠MON﹣(∠BOM+∠CON)=β﹣ (α﹣β)= β﹣ α;

故答案爲： β﹣ α.