2017年八年級數學上冊期末試題

2017年八年級數學期末考試是一次重要的考試，勤奮做練習試題是考試複習之前的重要環節。以下是小編爲你整理的2017年八年級數學上冊期末試題，希望對大家有幫助!

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1. 的倒數是(　　)

A.﹣ B. C.﹣ D.

2.下列運算中，正確的是(　　)

A.2x+2y=2xy B.(x2y3)2=x4y5 C.(xy)2÷ =(xy)3 D.2xy﹣3yx=xy

3.反比例函數y= 的圖象，當x>0時，y隨x的增大而減小，則k的取值範圍是(　　)

A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2

4.如圖所示的由六個小正方體組成的幾何體的俯視圖是(　　)

A. B. C. D.

5.松北某超市今年一月份的營業額爲50萬元.三月份的營業額爲72萬元.則二、三兩個月平均每月營業額的增長率是(　　)

A.25% B.20% C.15% D.10%

6.若將拋物線y=2x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式爲(　　)

A.y=2x2+3 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣3)2 D.y=2(x+3)2

7.如圖，將矩形紙片ABCD沿EF摺疊(E、F分別是AD、BC上的點)，使點B與四邊形CDEF內一點B′重合，若∠B′FC=50°，則∠AEF等於(　　)

A.110° B.115° C.120° D.130°

8.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA= ，那麼AC邊的長是(　　)

A.6 B.2 C.3 D.2

9.如圖，DE∥BC，分別交△ABC的邊AB、AC於點D、E， = ，若AE=1，則EC=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

10.甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛(中途不停留)，前往終點B地，甲、乙兩車之間的距離S(千米)與甲車行駛的時間t(小時)之間的函數關係如圖所示.下列說法：

①甲、乙兩地相距210千米;

②甲速度爲60千米/小時;

③乙速度爲120千米/小時;

④乙車共行駛3 小時，

其中正確的個數爲(　　)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

二、填空題(每小題3分，共30分)

11.數字12800000用科學記數法表示爲　　.

12.函數y= 中，自變量x的取值範圍是　　.

13.計算： =　　.

14.把多項式2m2﹣8n2分解因式的結果是　　.

15.不等式組 的解集爲　　.

16.分式方程 = 的解爲x=　　.

17.若弧長爲4π的扇形的圓心角爲直角，則該扇形的半徑爲　　.

18.已知，平面直角座標系中，O爲座標原點，一次函數y= x+2的圖象交x軸於點A，交y軸於點B，則△AOB的面積=　　.

19.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB於E，交AC所在直線於P，若∠APE=54°，則∠B=　　.

20.如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= ，點P爲CD上一動點，當BP+ CP最小時，DP=　　.

三、解答題(21、22小題各7分，23、24小題各8分，25、26、27小題各10分，共60分)

21.先化簡，再求代數式 ÷(1﹣ )的值，其中x=2sin45°﹣tan45°.

22.如圖，是由邊長爲1的小正方形構成的網格，各個小正方形的頂點稱之爲格點，點A、C、E、F均在格點上，根據不同要求，選擇格點，畫出符合條件的圖形：

(1)在圖1中，畫一個以AC爲一邊的△ABC，使∠ABC=45°(畫出一個即可);

(2)在圖2中，畫一個以EF爲一邊的△DEF，使tan∠EDF= ，並直接寫出線段DF的長.

23.爲便於管理與場地安排，松北某中學校以小明所在班級爲例，對學生參加各個體育項目進行了調查統計.並把調查的結果繪製瞭如圖所示的不完全統計圖，請你根據下列信息回答問題：

(1)在這次調查中，小明所在的班級參加籃球項目的同學有多少人?並補全條形統計圖.

(2)如果學校有800名學生，請估計全校學生中有多少人蔘加籃球項目.

24.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD爲△ABC的中線，作CO⊥AB於O，點E在CO延長線上，DE=AD，連接BE、DE.

(1)求證：四邊形BCDE爲菱形;

(2)把△ABC分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6，求兩條分割線段長度的和.

25.某商廈進貨員預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用0.8萬元購進這種襯衫，面市後果然供不應求.於是，商廈又用1.76萬元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進數量的2倍，但單價貴了4元，商廈銷售這種襯衫時每件預定售價都是58元.

(1)求這種襯衫原進價爲每件多少元?

(2)經過一段時間銷售，根據市場飽和情況，商廈經理決定對剩餘的100件襯衫進行打折銷售，以提高回款速度，要使這兩批襯衫的總利潤不少於6300元，最多可以打幾折?

26.已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC於點H.

(1)如圖1，求證：∠B=∠C;

(2)如圖2，當H、O、B三點在一條直線上時，求∠BAC的度數;

(3)如圖3，在(2)的條件下，點E爲劣弧BC上一點，CE=6，CH=7，連接BC、OE交於點D，求BE的長和 的值.

27.如圖，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸於點A、B(A左B右)，交y軸於點C，S△ABC=6，點P爲第一象限內拋物線上的一點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若∠PCB=45°，求點P的座標;

(3)點Q爲第四象限內拋物線上一點，點Q的橫座標比點P的橫座標大1，連接PC、AQ，當PC= AQ時，求點P的座標以及△PCQ的面積.

28.如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A(﹣1，0)，B(5，0)兩點，直線y=﹣ x+3與y軸交於點C，與x軸交於點D.點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸於點F，交直線CD於點E.設點P的橫座標爲m.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若PE=5EF，求m的值;

(3)若點E′是點E關於直線PC的對稱點、是否存在點P，使點E′落在y軸上?若存在，請直接寫出相應的點P的座標;若不存在，請說明理由.

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1. 的倒數是(　　)

A.﹣ B. C.﹣ D.

【考點】實數的性質.

【分析】 的倒數是 ，但 的分母需要有理化.

【解答】解：因爲， 的倒數是 ，而 =

故：選D

2.下列運算中，正確的是(　　)

A.2x+2y=2xy B.(x2y3)2=x4y5 C.(xy)2÷ =(xy)3 D.2xy﹣3yx=xy

【考點】冪的乘方與積的乘方;合併同類項;分式的乘除法.

【分析】分別利用合併同類項法則以及分式除法運算和積的乘方運算得出即可.

【解答】解：A、2x+2y無法計算，故此選項錯誤;

B、(x2y3)2=x4y6，故此選項錯誤;

C、此選項正確;

D、2xy﹣3yx=﹣xy，故此選項錯誤;

故選：C.

3.反比例函數y= 的圖象，當x>0時，y隨x的增大而減小，則k的取值範圍是(　　)

A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2

【考點】反比例函數的性質.

【分析】先根據當x>0時，y隨x的增大而減小得出關於k的不等式，求出k的取值範圍即可.

【解答】解：∵反比例函數y= 中，當x>0時，y隨x的增大而減小，

∴k﹣2>0，

解得k>2.

故選C.

4.如圖所示的由六個小正方體組成的幾何體的俯視圖是(　　)

A. B. C. D.

【考點】簡單組合體的三視圖.

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在俯視圖中.

【解答】解：從上面看易得左邊第一列有3個正方形，中間第二列有1個正方形，最右邊一列有1個正方形.

故選D.

5.松北某超市今年一月份的.營業額爲50萬元.三月份的營業額爲72萬元.則二、三兩個月平均每月營業額的增長率是(　　)

A.25% B.20% C.15% D.10%

【考點】一元二次方程的應用.

【分析】可設增長率爲x，那麼三月份的營業額可表示爲50(1+x)2，已知三月份營業額爲72萬元，即可列出方程，從而求解.

【解答】解：設增長率爲x，根據題意得50(1+x)2=72，

解得x=﹣2.2(不合題意捨去)，x=0.2，

所以每月的增長率應爲20%，

故選：B.

6.若將拋物線y=2x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式爲(　　)

A.y=2x2+3 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣3)2 D.y=2(x+3)2

【考點】二次函數圖象與幾何變換.

【分析】直接根據“上加下減、左加右減”的原則進行解答即可.

【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將二次函數y=2x2向上平移3個單位可得到函數y=2x2+3，

故選：A.

7.如圖，將矩形紙片ABCD沿EF摺疊(E、F分別是AD、BC上的點)，使點B與四邊形CDEF內一點B′重合，若∠B′FC=50°，則∠AEF等於(　　)

A.110° B.115° C.120° D.130°

【考點】平行線的性質;翻折變換(摺疊問題).

【分析】先根據平角的性質及摺疊的性質可求出∠EFB′的度數，再根據平行線的性質解答即可.

【解答】解：∵四邊形A′EFB′是四邊形ABFE摺疊而成，

∴∠BFE=∠EFB′，

∵∠B'FC=50°，

∴∠EFB= = =65°，

∵AD∥BC，

∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°.

故選B.

8.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA= ，那麼AC邊的長是(　　)

A.6 B.2 C.3 D.2

【考點】解直角三角形.

【分析】根據三角函數的定義及勾股定理求解.

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，

∴sinA= = = ，

∴AB=6.

∴AC= =2 .

故選B.

9.如圖，DE∥BC，分別交△ABC的邊AB、AC於點D、E， = ，若AE=1，則EC=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

【考點】平行線分線段成比例.

【分析】根據平行線分線段成比例定理得到 = ，即 = ，然後利用比例性質求EC.

【解答】解：∵DE∥BC，

∴ = ，即 = ，

∴EC=2.

故選A.

10.甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛(中途不停留)，前往終點B地，甲、乙兩車之間的距離S(千米)與甲車行駛的時間t(小時)之間的函數關係如圖所示.下列說法：

①甲、乙兩地相距210千米;

②甲速度爲60千米/小時;

③乙速度爲120千米/小時;

④乙車共行駛3 小時，

其中正確的個數爲(　　)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【考點】一次函數的應用.

【分析】根據題意和函數圖象可以分別計算出各個小題中的結果，從而可以判斷各小題是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：由圖可知，

甲車的速度爲：60÷1=60千米/時，故②正確，

則A、B兩地的距離是：60× =210(千米)，故①正確，

則乙的速度爲：(60×2)÷(2﹣1)=120千米/時，故③正確，

乙車行駛的時間爲：2 ﹣1=1 (小時)，故④錯誤，

故選C.

二、填空題(每小題3分，共30分)

11.數字12800000用科學記數法表示爲　1.28×107　.

【考點】科學記數法—表示較大的數.

【分析】科學記數法的表示形式爲a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n爲整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數;當原數的絕對值<1時，n是負數.

【解答】解：將12800000用科學記數法表示爲：1.28×107.

故答案爲：1.28×107.

12.函數y= 中，自變量x的取值範圍是　x≠﹣2　.

【考點】函數自變量的取值範圍.

【分析】根據分母不等於0列式計算即可得解.

【解答】解：根據題意得x+2≠0，

解得x≠﹣2.

故答案爲：x≠﹣2.

13.計算： =　﹣ 　.

【考點】二次根式的加減法.

【分析】二次根式的加減運算，先化爲最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合併.

【解答】解：原式=2 ﹣3 =﹣ .

14.把多項式2m2﹣8n2分解因式的結果是　2(m+2n)(m﹣2n)　.

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【分析】直接提取公因式2，進而利用平方差公式分解即可.

【解答】解：2m2﹣8n2=2(m2﹣4n2)=2(m+2n)(m﹣2n).

故答案爲：2(m+2n)(m﹣2n).

15.不等式組 的解集爲　﹣2≤x< 　.

【考點】解一元一次不等式組.

【分析】先求出每個不等式的解集，再根據找不等式組解集的規律找出不等式組的解集即可.

【解答】解：

∵解不等式①得：x≥﹣2，

解不等式②得：x< ，

∴不等式組的解集爲﹣2≤x< ，

故答案爲：﹣2≤x< .

16.分式方程 = 的解爲x=　3　.

【考點】解分式方程.

【分析】分式方程去分母轉化爲整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+1，

解得：x=3，

經檢驗x=3是分式方程的解，

故答案爲：3

17.若弧長爲4π的扇形的圓心角爲直角，則該扇形的半徑爲　8　.

【考點】弧長的計算.

【分析】利用扇形的弧長公式表示出扇形的弧長，將已知的圓心角及弧長代入，即可求出扇形的半徑.

【解答】解：∵扇形的圓心角爲90°，弧長爲4π，

∴l= ，

即4π= ，

則扇形的半徑r=8.

故答案爲：8.

18.已知，平面直角座標系中，O爲座標原點，一次函數y= x+2的圖象交x軸於點A，交y軸於點B，則△AOB的面積=　4　.

【考點】一次函數圖象上點的座標特徵.

【分析】先求出A、B兩點的座標，再由三角形的面積公式即可得出結論.

【解答】解：∵一次函數y= x+2的圖象交x軸於點A，交y軸於點B，

∴A(﹣4，0)，B(0，2)，

∴△AOB的面積= ×2×4=4.

故答案爲：4.

19.已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB於E，交AC所在直線於P，若∠APE=54°，則∠B=　72°或18°　.

【考點】等腰三角形的性質;線段垂直平分線的性質.

【分析】根據題意畫出符合條件的兩種情況，推出AP=BP，推出∠BAC=∠ABP，求出∠BAC的度數和∠ABC的度數即可.

【解答】解：分爲兩種情況：

①如圖1，

∵PE是AB的垂直平分線，

∴AP=BP，

∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，

∴∠A=∠ABP=36°，

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC= =72°;

②如圖2，

∵PE是AB的垂直平分線，

∴AP=BP，

∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，

∴∠PAB=∠ABP=36°，

∴∠BAC=144°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC= =18°，

故答案爲：72°或18°.

20.如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB= ，點P爲CD上一動點，當BP+ CP最小時，DP=　5 　.

【考點】軸對稱-最短路線問題;解直角三角形.

【分析】如圖，作PE⊥AC於E，BE′⊥AC於E′交CD於P′.易知PB+ PC=PB+PE，所以當BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，由tan∠ACB= = ，設BE′=5 ，CE′=3k，則AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，根據BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，列出方程求出k，即可解決問題.

【解答】解：如圖，作PE⊥AC於E，BE′⊥AC於E′交CD於P′.

∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，

∴PE= PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4 ，

∴PB+ PC=PB+PE，

∴當BE′⊥AC時，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，

∵tan∠ACB= = ，設BE′=5 ，CE′=3k，

∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，

∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，

∴(12﹣6k)2+48=9k2+75k2，

整理得k2+3k﹣4=0，

∴k=1或﹣4(捨棄)，

∴BE′=5 ，

∴PB+ PC的最小值爲5 .

故答案爲5 .

三、解答題(21、22小題各7分，23、24小題各8分，25、26、27小題各10分，共60分)

21.先化簡，再求代數式 ÷(1﹣ )的值，其中x=2sin45°﹣tan45°.

【考點】分式的化簡求值;特殊角的三角函數值.

【分析】先化簡題目中的式子，然後將x的值代入化簡後的式子即可解答本題.

【解答】解： ÷(1﹣ )

=

=

= ，

當x=2sin45°﹣tan45°=2× ﹣1= ，

原式= .

22.如圖，是由邊長爲1的小正方形構成的網格，各個小正方形的頂點稱之爲格點，點A、C、E、F均在格點上，根據不同要求，選擇格點，畫出符合條件的圖形：

(1)在圖1中，畫一個以AC爲一邊的△ABC，使∠ABC=45°(畫出一個即可);

(2)在圖2中，畫一個以EF爲一邊的△DEF，使tan∠EDF= ，並直接寫出線段DF的長.

【考點】作圖—複雜作圖;銳角三角函數的定義.

【分析】(1)利用網格特點，AB在水平格線上，BC爲4×4的正方形的對角線;

(2)由於tan∠EDF= ，則在含∠D的直角三角形中，滿足對邊與鄰邊之比爲1：2即可.

【解答】解：(1)如圖1，△ABC爲所作;

(2)如圖2，△DEF爲所作，DF= =4 .

23.爲便於管理與場地安排，松北某中學校以小明所在班級爲例，對學生參加各個體育項目進行了調查統計.並把調查的結果繪製瞭如圖所示的不完全統計圖，請你根據下列信息回答問題：

(1)在這次調查中，小明所在的班級參加籃球項目的同學有多少人?並補全條形統計圖.

(2)如果學校有800名學生，請估計全校學生中有多少人蔘加籃球項目.

【考點】條形統計圖;用樣本估計總體;扇形統計圖.

【分析】(1)根據跳繩人數除以跳繩人數所佔的百分比，可得抽查總人數，根據有理數的減法，可得參加籃球項目的人數，根據參加籃球項目的人數，可得答案;

(2)根據全校學生人數乘以參加籃球項目所佔的百分比，可得答案.

【解答】解：(1)抽查總人數是：20÷40%=50(人)，

參加籃球項目的人數是：50﹣20﹣10﹣15=5(人)，

即小明所在的班級參加籃球項目的同學有5人，

補全條形圖如下：

(2)800× =80(人).

答：估計全校學生中大約有80人蔘加籃球項目.

24.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD爲△ABC的中線，作CO⊥AB於O，點E在CO延長線上，DE=AD，連接BE、DE.

(1)求證：四邊形BCDE爲菱形;

(2)把△ABC分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6，求兩條分割線段長度的和.

【考點】菱形的判定與性質.

【分析】(1)容易證三角形BCD爲等邊三角形，又DE=AD=BD，再證三角形DBE爲等邊三角形四邊相等的四邊形BCDE爲菱形.

(2)畫出圖形，證出BM+MN=AM+MC=AC=6即可.

【解答】(1)證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD爲△ABC的中線，

∴BC= AB，CD= AB=AD，

∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠BDC=30°+30°=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∵CO⊥AB，

∴OD=OB，

∴DE=BE，

∵DE=AD，

∴CD=BC=DE=BE，

∴四邊形BCDE爲菱形;

(2)解：作∠ABC的平分線交AC於N，再作MN⊥AB於N，如圖所示：

則MN=MC= BM，∠ABM=∠A=30°，

∴AM=BM，

∵AC=6，

∴BM+MN=AM+MC=AC=6;

即兩條分割線段長度的和爲6.

25.某商廈進貨員預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用0.8萬元購進這種襯衫，面市後果然供不應求.於是，商廈又用1.76萬元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進數量的2倍，但單價貴了4元，商廈銷售這種襯衫時每件預定售價都是58元.

(1)求這種襯衫原進價爲每件多少元?

(2)經過一段時間銷售，根據市場飽和情況，商廈經理決定對剩餘的100件襯衫進行打折銷售，以提高回款速度，要使這兩批襯衫的總利潤不少於6300元，最多可以打幾折?

【考點】分式方程的應用;一元一次不等式的應用.

【分析】(1)設這種襯衫原進價爲每件x元.根據“用1.76萬元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進數量的2倍，但單價貴了4元”列出方程並解答，注意需要驗根;

(2)設打m折，根據題意列出不等式即可.

【解答】解：(1)設這種襯衫原進價爲每件x元

= ，

解得：x=40.

經檢驗：x=40是原分式方程的解，

答：這種襯衫原進價爲每件40元;

(2)設打m折，

8000÷40×3=600，58=29000，

29000+58×100× ≥8000+17600+6300，

解得：m≥5.

答：最多可以打5折.

26.已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC於點H.

(1)如圖1，求證：∠B=∠C;

(2)如圖2，當H、O、B三點在一條直線上時，求∠BAC的度數;

(3)如圖3，在(2)的條件下，點E爲劣弧BC上一點，CE=6，CH=7，連接BC、OE交於點D，求BE的長和 的值.

【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)如圖1中，連接OA.欲證明∠B=∠C，只要證明△AOC≌△AOB即可.

(2)由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一條直線上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC爲等邊三角形，即可解決問題.

(3)過點B作BM⊥CE延長線於M，過E、O作EN⊥BC於N，OK⊥BC於K.設ME=x，則BE=2x，BM= x，在△BCM中，根據BC2=BM2+CM2，可得BM=5 ，推出sin∠BCM= = ，推出NE= ，OK= CK= ，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解決問題.

【解答】證明：(1)如圖1中，連接OA.

∵AB=AC，

∴ = ，

∴∠AOC=∠AOB，

在△AOC和△AOB中，

，

∴△AOC≌△AOB，

∴∠B=∠C.

解：(2)連接BC，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH，

∵H、O、B在一條直線上，

∴BH垂直平分AC，

∴AB=BC，∵AB=AC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC爲等邊三角形，

∴∠BAC=60°.

解：(3)過點B作BM⊥CE延長線於M，過E、O作EN⊥BC於N，OK⊥BC於K.

∵CH=7，

∴BC=AC=14，

設ME=x，

∵∠CEB=120°，

∴∠BEM=60°，

∴BE=2x，

∴BM= x，

△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，

∴142=( x)2+(6+x)2，

∴x=5或﹣8(捨棄)，

∴BM=5 ，

∴sin∠BCM= = ，

∴NE= ，

∴OK= CK= ，

∵NE∥OK，

∴DE：OD=NE：OK=45：49.

27.如圖，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸於點A、B(A左B右)，交y軸於點C，S△ABC=6，點P爲第一象限內拋物線上的一點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若∠PCB=45°，求點P的座標;

(3)點Q爲第四象限內拋物線上一點，點Q的橫座標比點P的橫座標大1，連接PC、AQ，當PC= AQ時，求點P的座標以及△PCQ的面積.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式;

(2)先判斷出∠OBC=45°，而點P在第一象限，所以得出CP∥OB即：點P和點C的縱座標一樣，即可確定出點P座標;

(3)根據點P在第一象限，點Q在第二象限，且橫座標相差1，進而設出點P(3﹣m，﹣m2+4m)(0

【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x+1)(x﹣3)，

∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3a)，

∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，

∵S△ABC=6，

∴ AB•OC=6，

∴ ×4×|3a|=6，

∴a=﹣1或a=1(舍)，

∴拋物線的解析式爲y=﹣x2+2x+3;

(2)由(1)知，B(3，0)，C(0，﹣3a)，

∴C(0，3)，

∴OB=3，OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠BCO=∠OBC=45°，

∵點P爲第一象限內拋物線上的一點，且∠PCB=45°，

∴PC∥OB，

∴P點的縱座標爲3，

由(1)知，拋物線的解析式爲y=﹣x2+2x+3，

令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，

∴x=0(舍)或x=2，

∴P(2，3);

(3)如圖2，過點P作PD⊥x軸交CQ於D，設P(3﹣m，﹣m2+4m)(0

∵C(0，3)，

∴PC2=(3﹣m)2+(﹣m2+4m﹣3)2=(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]，

∵點Q的橫座標比點P的橫座標大1，

∴Q(4﹣m，﹣m2+6m﹣5)，

∵A(﹣1，0).

∴AQ2=(4﹣m+1)2+(﹣m2+6m﹣5)2=(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]

∵PC= AQ，

∴81PC2=25AQ2，

∴81(m﹣3)2[(m﹣1)2+1]=25(m﹣5)2[(m﹣1)2+1]，

∵0

∴[(m﹣1)2+1]≠0，

∴81(m﹣3)2=25(m﹣5)2，

∴9(m﹣3)=±5(m﹣5)，

∴m= 或m= (舍)，

∴P( ， )，Q( ，﹣ )，

∵C(0，3)，

∴直線CQ的解析式爲y=﹣ x+3，

∵P( ， )，

∴D( ，﹣ )，

∴PD= + = ，

∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD= PD×xP+ PD×(xQ﹣xP)= PD×xQ= × × = .

28.如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A(﹣1，0)，B(5，0)兩點，直線y=﹣ x+3與y軸交於點C，與x軸交於點D.點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸於點F，交直線CD於點E.設點P的橫座標爲m.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若PE=5EF，求m的值;

(3)若點E′是點E關於直線PC的對稱點、是否存在點P，使點E′落在y軸上?若存在，請直接寫出相應的點P的座標;若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)利用待定係數法求出拋物線的解析式;

(2)用含m的代數式分別表示出PE、EF，然後列方程求解;

(3)解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然後根據PE=CE的條件，列出方程求解;當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P座標.

【解答】解：(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交於A (﹣1，0)，B(5，0)兩點，

∴ 解得 ，

∴拋物線的解析式爲y=﹣x2+4x+5.

(2)∵點P的橫座標爲m，

∴P(m，﹣m2+4m+5)，E(m，﹣ m+3)，F(m，0).

∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.

由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=|﹣ m+15|

①若﹣m2+ m+2=﹣ m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m= ;

②若﹣m2+ m+2=﹣(﹣ m+15)，整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m= 或m= .

由題意，m的取值範圍爲：﹣1

∴m=2或m= .

(3)假設存在.

作出示意圖如下：

∵點E、E′關於直線PC對稱，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′.

∵PE平行於y軸，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形.

當四邊形PECE′是菱形存在時，

由直線CD解析式y=﹣ x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5.

過點E作EM∥x軸，交y軸於點M，易得△CEM∽△CDO，

∴ = =，即 = ，解得CE= |m|，

∴PE=CE= |m|，又由(2)可知：PE=|﹣m2+ m+2|

∴|﹣m2+ m+2|= |m|.

①若﹣m2+ m+2= m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ;

②若﹣m2+ m+2=﹣ m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+ ，m2=3﹣ .

由題意，m的取值範圍爲：﹣1

當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，

此時P點橫座標爲0，E，C，E'三點重合與y軸上，也符合題意，

∴P(0，5)

綜上所述，存在滿足條件的點P座標爲(0，5)或(﹣ ， )或(4，5)或(3﹣ ，2 ﹣3).