2017年八年級數學上冊期末試卷

八年級數學上冊期末考試即將來臨，數學成績的提高是同學們提高總體學習成績的重要途徑。以下是小編爲你整理的2017年八年級數學上冊期末試卷，希望對大家有幫助!

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若將一個正方形的各邊長擴大爲原來的4倍，則這個正方形的面積擴大爲原來的(　　)

A.16倍 B.8倍 C.4倍 D.2倍

2.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)

A. B. C. D.

3.下列隨機事件的概率，既可以用列舉法求得，又可以用頻率估計獲得的是(　　)

A.某種幼苗在一定條件下的移植成活率

B.某種柑橘在某運輸過程中的損壞率

C.某運動員在某種條件下“射出9環以上”的概率

D.投擲一枚均勻的骰子，朝上一面爲偶數的概率

4.正六邊形的邊長爲2，則它的面積爲(　　)

A. B. C.3 D.6

5.袋中裝有除顏色外完全相同的a個白球、b個紅球、c個黃球，則任意摸出一個球是黃球的概率爲(　　)

A. B. C. D.

6.如圖，鐵路道口的欄杆短臂長1m，長臂長16m.當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高(杆的寬度忽略不計)(　　)

A.4m B.6m C.8m D.12m

7.下列說法正確的是(　　)

A.兩個大小不同的正三角形一定是位似圖形

B.相似的兩個五邊形一定是位似圖形

C.所有的正方形都是位似圖形

D.兩個位似圖形一定是相似圖形

8.如圖，將△ABC繞點C(0，﹣1)旋轉180°得到△A'B'C，設點A的座標爲(a，b)，則點A′的座標爲(　　)

A.(﹣a，﹣b) B.(﹣a.﹣b﹣1) C.(﹣a，﹣b+1) D.(﹣a，﹣b﹣2)

9.下列4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均爲1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網格圖形是(　　)

A. B. C. D.

10.過以下四邊形的四個頂點不能作一個圓的是(　　)

A. 等腰梯形 B. 矩形

C. 直角梯形 D. 對角是90°的四邊形

11.如圖，AD⊥BC於D，BE⊥AC於E，AD與BE相交於點F，連接ED，圖中的相似三角形的對數爲(　　)

A.4對 B.6對 C.8對 D.9對

12.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論中錯誤的是(　　)

A.函數有最小值 B.當﹣10

C.a+b+c<0 D.當x< ，y隨x的增大而減小

二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分，請將答案直接填在答題紙中對應橫線上.

13.兩地的實際距離是2000m，在繪製的地圖上量得這兩地的距離是2cm，那麼這幅地圖的比例尺爲　　.

14.在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號爲1，2，3，4，隨機摸出一個小球然後放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出的小球標號相同的概率爲　　.

15.在平面直角座標系中，O爲原點，點A(4，0)，點B(0，3)把△ABO繞點B逆時針旋轉90°，得△A′BO′，點A、O旋轉後的對應點爲A′、O′，那麼AA′的長爲　　.

16.如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，則它的內切圓半徑是　　.

17.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是過點(1，0)且平行於y軸的直線，若點P(4，0)在該拋物線上，則4a﹣2b+c的值爲　　.

18.將邊長爲4的正方形ABCD向右傾斜，邊長不變，∠ABC逐漸變小，頂點A、D及對角線BD的中點N分別運動列A′、D′和N′的位置，若∠A′BC=30°，則點N到點N′的運動路徑長爲　　.

三、解答題：本大題共7小題，共66分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程.

19.(8分)如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AB′C′.

(1)在正方形網格中，畫出△AB′C′;

(2)計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區域的面積.

20.(8分)學生甲與學生乙學習概率初步知識後設計瞭如下游戲：學生甲手中有6，8，10三張撲克牌，學生乙手中有5，7，9三張撲克牌，每人從各自手中取一張牌進行比較，數字大的爲本局獲勝，每次獲取的牌不能放回.

(1)若每人隨機取手中的一張牌進行比較，請列舉出所有情況;

(2)並求學生乙本局獲勝的概率.

21.(10分)如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB、AC於點D、E，若AD=3，DB=2，BC=6，求DE的長.

22.(10分)已知二次函數y=2x2﹣4x+1

(1)用配方法化爲y=a(x﹣h)2+k的形式;

(2)寫出該函數的頂點座標;

(3)當0≤x≤3時，求函數y的最大值.

23.(10分)如圖，CD是圓O的弦，AB是直徑，且CD⊥AB，垂足爲P.

(1)求證：PC2=PA•PB;

(2)PA=6，PC=3，求圓O的直徑.

24.(10分)已知AB爲⊙O的直徑，OC⊥AB，弦DC與OB交於點F，在直線AB上有一點E，連接ED，且有ED=EF.

(Ⅰ)如圖1，求證ED爲⊙O的切線;

(Ⅱ)如圖2，直線ED與切線AG相交於G，且OF=1，⊙O的半徑爲3，求AG的長.

25.(10分)如圖，拋物線y=x2﹣mx﹣3(m>0)交y軸於點C，CA⊥y軸，交拋物線於點A，點B在拋物線上，且在第一象限內，BE⊥y軸，交y軸於點E，交AO的延長線於點D，BE=2AC.

(1)用含m的代數式表示BE的長.

(2)當m= 時，判斷點D是否落在拋物線上，並說明理由.

(3)若AG∥y軸，交OB於點F，交BD於點G.

①若△DOE與△BGF的'面積相等，求m的值.

②連結AE，交OB於點M，若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是　　.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若將一個正方形的各邊長擴大爲原來的4倍，則這個正方形的面積擴大爲原來的(　　)

A.16倍 B.8倍 C.4倍 D.2倍

【考點】相似圖形.

【分析】根據正方形的面積公式：s=a2，和積的變化規律，積擴大的倍數等於因數擴大倍數的乘積，由此解答.

【解答】解：根據正方形面積的計算方法和積的變化規律，如果一個正方形的邊長擴大爲原來的4倍，那麼正方形的面積是原來正方形面積的4×4=16倍.

故選：A

【點評】此題考查相似圖形問題，解答此題主要根據正方形的面積的計算方法和積的變化規律解決問題.

2.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)

A. B. C. D.

【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項正確;

C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分摺疊後可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度後兩部分重合.

3.下列隨機事件的概率，既可以用列舉法求得，又可以用頻率估計獲得的是(　　)

A.某種幼苗在一定條件下的移植成活率

B.某種柑橘在某運輸過程中的損壞率

C.某運動員在某種條件下“射出9環以上”的概率

D.投擲一枚均勻的骰子，朝上一面爲偶數的概率

【考點】利用頻率估計概率.

【分析】選項依次分析判斷即可.

【解答】解：A、某種幼苗在一定條件下的移植成活率，只能用頻率估計，不能用列舉法;故不符合題意;

B、某種柑橘在某運輸過程中的損壞率，只能用列舉法，不能用頻率求出;故不符合題意;

C、某運動員在某種條件下“射出9環以上”的概率，只能用頻率估計，不能用列舉法;故不符合題意;

D、∵一枚均勻的骰子只有六個面，即：只有六個數，不是奇數，便是偶數，

∴能一一的列舉出來，

∴既可以用列舉法求得，又可以用頻率估計獲得概率;故符合題意.

故選D.

【點評】此題是頻率估計概率，主要考查了概率的幾種求法，解本題的關鍵是熟練掌握概率的求法.

4.正六邊形的邊長爲2，則它的面積爲(　　)

A. B. C.3 D.6

【考點】正多邊形和圓.

【分析】構建等邊三角形，由題意可得：正六邊形的面積就是6個等邊△OCD的面積，根據邊長爲2求得三角形的高線OG= ，代入面積公式計算即可.

【解答】解：如圖，設正六邊形ABCDEF的中心爲O，連接OC、OD，

過O作OG⊥CD於G，

∵∠COD= =60°，OC=OD，

∴△COD是等邊三角形，

∴OC=CD=OD=2，

∴CG=DG=1，

由勾股定理得：OG= ，

∴S正六邊形ABCDEF=6S△OCD=6× ×CD×OG=3×2× =6 ，

故選D.

【點評】本題考查了正六邊形的性質及三角形的面積，正確計算中心角的度數= ，熟知半徑與邊長構成等邊三角形，求正六邊形的面積，其實就是求等邊三角形的面積.

5.袋中裝有除顏色外完全相同的a個白球、b個紅球、c個黃球，則任意摸出一個球是黃球的概率爲(　　)

A. B. C. D.

【考點】概率公式.

【分析】由袋中裝有除顏色外完全相同的a個白球，b個紅球，c個黃球，直接利用概率公式求解即可求得答案..

【解答】解：根據題意，任意摸出一個球是黃球的概率爲 ，

故選：A.

【點評】此題考查了概率公式的應用.用到的知識點爲：概率=所求情況數與總情況數之比.

6.如圖，鐵路道口的欄杆短臂長1m，長臂長16m.當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高(杆的寬度忽略不計)(　　)

A.4m B.6m C.8m D.12m

【考點】相似三角形的應用.

【分析】欄杆長短臂在升降過程中，將形成兩個相似三角形，利用對應變成比例解題.

【解答】解：設長臂端點升高x米，

則 = ，

∴解得：x=8.

故選;C.

【點評】此題考查了相似三角形在實際生活中的運用，得出比例關係式是解題關鍵.

7.下列說法正確的是(　　)

A.兩個大小不同的正三角形一定是位似圖形

B.相似的兩個五邊形一定是位似圖形

C.所有的正方形都是位似圖形

D.兩個位似圖形一定是相似圖形

【考點】位似變換.

【分析】根據位似圖形的定義即可判定.

【解答】解：A、錯誤.兩個大小不同的正三角形不一定是位似圖形;

B、錯誤.相似的兩個五邊形不一定是位似圖形;

C、錯誤.所有的正方形不一定是位似圖形;

D、正確.兩個位似圖形一定是相似圖

故選D.

【點評】本題考查位似圖形的定義，記住位似圖形的性質是解題的關鍵①兩個圖形必須是相似形;②對應點的連線都經過同一點;③對應邊平行.

8.如圖，將△ABC繞點C(0，﹣1)旋轉180°得到△A'B'C，設點A的座標爲(a，b)，則點A′的座標爲(　　)

A.(﹣a，﹣b) B.(﹣a.﹣b﹣1) C.(﹣a，﹣b+1) D.(﹣a，﹣b﹣2)

【考點】座標與圖形變化-旋轉.

【分析】我們已知關於原點對稱的點的座標規律：橫座標和縱座標都互爲相反數;還知道平移規律：上加下減;左加右減.在此基礎上轉化求解.把AA′向上平移1個單位得A的對應點A1座標和A′對應點A2座標後求解.

【解答】解：把AA′向上平移1個單位得A的對應點A1座標爲(a，b+1).

因A1、A2關於原點對稱，所以A′對應點A2(﹣a，﹣b﹣1).

∴A′(﹣a，﹣b﹣2).

故選D.

【點評】此題通過平移把問題轉化爲學過的知識，從而解決問題，體現了數學的化歸思想.

9.下列4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均爲1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網格圖形是(　　)

A. B. C. D.

【考點】相似三角形的判定.

【分析】根據勾股定理求出△ABC的三邊，並求出三邊之比，然後根據網格結構利用勾股定理求出三角形的三邊之比，再根據三邊對應成比例，兩三角形相似選擇答案.

【解答】解：根據勾股定理，AB= =2 ，

BC= = ，

AC= = ，

所以△ABC的三邊之比爲 ：2 ： =1：2： ，

A、三角形的三邊分別爲2， = ， =3 ，三邊之比爲2： ：3 = ： ：3，故A選項錯誤;

B、三角形的三邊分別爲2，4， =2 ，三邊之比爲2：4：2 =1：2： ，故B選項正確;

C、三角形的三邊分別爲2，3， = ，三邊之比爲2：3： ，故C選項錯誤;

D、三角形的三邊分別爲 = ， = ，4，三邊之比爲 ： ：4，故D選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與網格結構的知識，根據網格結構分別求出各三角形的三條邊的長，並求出三邊之比是解題的關鍵.

10.過以下四邊形的四個頂點不能作一個圓的是(　　)

A. 等腰梯形 B. 矩形

C. 直角梯形 D. 對角是90°的四邊形

【考點】圓周角定理;矩形的性質;直角梯形.

【分析】過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件是：對角互補(對角之和等於180°).依此判斷即可.

【解答】解：A、等腰梯形的對角互補，所以過等腰梯形的四個頂點能作一個圓，故本選項不符合題意;

B、矩形的對角互補，所以過矩形的四個頂點能作一個圓，故本選項不符合題意;

C、直角梯形的對角不互補，所以過直角梯形的四個頂點不能作一個圓，故本選項符合題意;

D、對角是90°的四邊形的對角互補，所以過對角是90°的四邊形的四個頂點能作一個圓，故本選項不符合題意;

故選C.

【點評】本題考查了確定圓的條件，圓內接四邊形的性質.圓內接四邊形的性質是溝通角相等關係的重要依據，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來.在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補.

11.如圖，AD⊥BC於D，BE⊥AC於E，AD與BE相交於點F，連接ED，圖中的相似三角形的對數爲(　　)

A.4對 B.6對 C.8對 D.9對

【考點】相似三角形的判定.

【分析】利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判定△FAE∽△CBE∽△FBD∽△CAD，再根據圓周角定理得到點A、B、D、E四點共圓，則∠BAD=∠BED，於是可判定△ABF∽△EDF，利用∠DEC=∠ABC可判定△CDE∽△CAB.

【解答】解：∵AD⊥BC於D，BE⊥AC於E，

∴∠ADC=∠AEC=90°，

∴△FAE∽△CAD，△FBD∽△CBE，

而∠ACD=∠BCE，

∴△CAD∽△CBE，

∴△FAE∽△CBE，△FAE∽△FBD，△FBD∽△CAD，

∵∠AEB=∠ADB，

∴點E、點D在以AB爲直角的圓上，

即點A、B、D、E四點共圓，

∴∠BAD=∠BED，

∴△ABF∽△EDF，

∵∠DEC=∠ABC，

∴△CDE∽△CAB，

故選C.

【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似;有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

12.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論中錯誤的是(　　)

A.函數有最小值 B.當﹣10

C.a+b+c<0 D.當x< ，y隨x的增大而減小

【考點】二次函數的圖象.

【分析】A、觀察可判斷函數有最小值;B、由拋物線可知當﹣1

【解答】解：A、由圖象可知函數有最小值，故正確;

B、由拋物線可知當﹣1

C、當x=1時，y<0，即a+b+c<0，故正確;

D、由圖象可知在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，故正確.

故選B.

【點評】本題考查了二次函數圖象的性質與解析式的係數的關係.關鍵是熟悉各項係數與拋物線的各性質的聯繫.

二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分，請將答案直接填在答題紙中對應橫線上.

13.兩地的實際距離是2000m，在繪製的地圖上量得這兩地的距離是2cm，那麼這幅地圖的比例尺爲　1：100000　.

【考點】比例線段.

【分析】圖上距離和實際距離已知，依據“比例尺=圖上距離：實際距離”即可求得這幅地圖的比例尺.

【解答】解：2cm=0.02m，

0.02m：2000m=1：100000.

答：這幅地圖的比例尺是1：100000.

故答案爲：1：100000.

【點評】此題主要考查比例尺的計算方法，解答時要注意單位的換算.

14.在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號爲1，2，3，4，隨機摸出一個小球然後放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出的小球標號相同的概率爲　 　.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】根據題意畫出數形圖，兩次取的小球的標號相同的情況有4種，再計算概率即可.

【解答】解：如圖：

兩次取的小球的標號相同的情況有4種，

概率爲P= = .

故答案爲： .

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重複不遺漏的列出所有可能的結果，適合於兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點爲：概率=所求情況數與總情況數之比.

15.在平面直角座標系中，O爲原點，點A(4，0)，點B(0，3)把△ABO繞點B逆時針旋轉90°，得△A′BO′，點A、O旋轉後的對應點爲A′、O′，那麼AA′的長爲　5 　.

【考點】座標與圖形變化-旋轉.

【分析】由A、B的座標可求得AB，由旋轉的性質可知AB=A′B，在Rt△ABA′中利用勾股定理可求得AA′的長.

【解答】解：

∵A(4，0)，B(0，3)，

∴AB=5，

∵把△ABO繞點B逆時針旋轉90°，得△A′BO′，

∴A′B=AB=5，且∠ABA′=90°，

∴AA′= =5 ，

故答案爲：5 .

【點評】本題主要考查旋轉的性質，掌握旋轉前後對應線段、對應角相等是解題的關鍵.

16.如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，則它的內切圓半徑是　2　.

【考點】三角形的內切圓與內心;勾股定理;正方形的判定與性質;切線長定理.

【分析】根據勾股定理求出AB，根據圓O是直角三角形ABC的內切圓，推出OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，證四邊形ODCE是正方形，推出CE=CD=r，根據切線長定理得到AC﹣r+BC﹣r=AB，代入求出即可.

【解答】解：根據勾股定理得：AB= =10，

設三角形ABC的內切圓O的半徑是r，

∵圓O是直角三角形ABC的內切圓，

∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，

∴四邊形ODCE是正方形，

∴OD=OE=CD=CE=r，

∴AC﹣r+BC﹣r=AB，

8﹣r+6﹣r=10，

∴r=2，

故答案爲：2.

【點評】本題主要考查對切線長定理，三角形的內切圓與內心，勾股定理，正方形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能推出AC﹣r+BC﹣r=AB是解此題的關鍵.

17.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是過點(1，0)且平行於y軸的直線，若點P(4，0)在該拋物線上，則4a﹣2b+c的值爲　0　.

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】依據拋物線的對稱性求得與x軸的另一個交點，代入解析式即可.

【解答】解：設拋物線與x軸的另一個交點是Q，

∵拋物線的對稱軸是過點(1，0)，與x軸的一個交點是P(4，0)，

∴與x軸的另一個交點Q(﹣2，0)，

把(﹣2，0)代入解析式得：0=4a﹣2b+c，

∴4a﹣2b+c=0，

故答案爲：0.

【點評】本題考查了拋物線的對稱性，知道與x軸的一個交點和對稱軸，能夠表示出與x軸的另一個交點，求得另一個交點座標是本題的關鍵.

18.將邊長爲4的正方形ABCD向右傾斜，邊長不變，∠ABC逐漸變小，頂點A、D及對角線BD的中點N分別運動列A′、D′和N′的位置，若∠A′BC=30°，則點N到點N′的運動路徑長爲　 　.

【考點】軌跡;正方形的性質.

【分析】根據題意可以畫出相應的圖形，可以求得∠NMN′的度數，然後根據弧長公式即可解答本題.

【解答】解：作NM⊥BC於點M，連接MN′，

∵點N′和點M分別爲線段BD′和BC的中點，

∴MN′= =2，

∴MN′=BM，

∴∠MBN′=∠MN′B，

∵∠A′BC=30°，

∴∠MBN′=15°，

∴∠N′MC=30°，

∴∠NMN′=60°，

∴點N到點N′的運動路徑長爲： ，

故答案爲： .

【點評】本題考查軌跡、正方形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

三、解答題：本大題共7小題，共66分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程.

19.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AB′C′.

(1)在正方形網格中，畫出△AB′C′;

(2)計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區域的面積.

【考點】作圖-旋轉變換;扇形面積的計算.

【分析】(1)根據旋轉的性質得出對應點旋轉後位置進而得出答案;

(2)利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面積公式求出即可.

【解答】解：(1)如圖所示：△AB′C′即爲所求;

(2)∵AB= =5，

∴線段AB在變換到AB′的過程中掃過區域的面積爲： = π.

【點評】此題主要考查了扇形面積公式以及圖形的旋轉變換等知識，熟練掌握扇形面積公式是解題關鍵.

20.學生甲與學生乙學習概率初步知識後設計瞭如下游戲：學生甲手中有6，8，10三張撲克牌，學生乙手中有5，7，9三張撲克牌，每人從各自手中取一張牌進行比較，數字大的爲本局獲勝，每次獲取的牌不能放回.

(1)若每人隨機取手中的一張牌進行比較，請列舉出所有情況;

(2)並求學生乙本局獲勝的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】(1)根據題意可以寫出所有的可能性;

(2)根據(1)中的結果可以得到乙本局獲勝的可能性，從而可以解答本題.

【解答】解：(1)由題意可得，

每人隨機取手中的一張牌進行比較的所有情況是：

(6，5)、(6，7)、(6，9)、

(8，5)、(8，7)、(8，9)、

(10，5)、(10，7)、(10，9);

(2)學生乙獲勝的情況有：(6，7)、(6，9)、(8，9)，

∴學生乙本局獲勝的概率是： = ，

即學生乙本局獲勝的概率是 .

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

21.(10分)(2016秋•河西區期末)如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB、AC於點D、E，若AD=3，DB=2，BC=6，求DE的長.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】首先根據DE∥BC證得兩三角形相似，利用相似三角形的對應邊的比相等列式計算即可.

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ ，

又∵AD=3，DB=2，BC=6，

∴AB=AD+DB=5，

即： = ，

∴DE= .

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是能夠根據平行得到相似，並得到比例式後代入計算.

22.(10分)(2016秋•河西區期末)已知二次函數y=2x2﹣4x+1

(1)用配方法化爲y=a(x﹣h)2+k的形式;

(2)寫出該函數的頂點座標;

(3)當0≤x≤3時，求函數y的最大值.

【考點】二次函數的三種形式;二次函數的最值.

【分析】(1)利用配方法整理即可得解;

(2)根據頂點式解析式寫出頂點座標即可;

(3)根據增減性結合對稱軸寫出最大值即可;

【解答】解：(1)y=﹣2(x2+2x﹣ )

=﹣2(x2+2x+1﹣1﹣ )

=﹣2(x+1)2+3，

(2)頂點座標爲(﹣1，3)，

(3)當0≤x≤3時，此函數y隨着x的增大而減小，

∴當x=0時，y有最大值是1.

【點評】本題考查了二次函數的三種形式的轉化，二次函數的性質，熟練掌握配方法是解題的關鍵.

23.(10分)(2016秋•河西區期末)如圖，CD是圓O的弦，AB是直徑，且CD⊥AB，垂足爲P.

(1)求證：PC2=PA•PB;

(2)PA=6，PC=3，求圓O的直徑.

【考點】相似三角形的判定與性質;勾股定理;垂徑定理.

【分析】(1)連接AC、BC，結合條件和垂徑定理可證明△APC∽△CPB，利用相似三角形的性質可證得PC2=PA•PB;

(2)把PA、PC的長代入(1)中的結論，可求得PB，則可求得AB的長.

【解答】(1)證明：

如圖，連接AC、BC，

∵CD⊥AB，AB是直徑，

∴ = ，

∴∠CAB=∠BCP，

∵∠CPA=∠CPB=90°，

∴△APC∽△CPB，

∴ = ，即PC2=PA•PB;

(2)解：

將PA=6，PC=3，代入PC2=PA•PB，可得32=6PB，

∴PB=1.5，

∴AB=PA+PB=6+1.5=7.5，

即圓的直徑爲7.5.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質及垂徑定理，利用條件構造三角形相似是解題的關鍵.

24.(10分)(2016•天津一模)已知AB爲⊙O的直徑，OC⊥AB，弦DC與OB交於點F，在直線AB上有一點E，連接ED，且有ED=EF.

(Ⅰ)如圖1，求證ED爲⊙O的切線;

(Ⅱ)如圖2，直線ED與切線AG相交於G，且OF=1，⊙O的半徑爲3，求AG的長.

【考點】切線的判定.

【分析】(1)連接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由對頂角相等可得出∠EDF=∠CFO;由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，結合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此證出ED爲⊙O的切線;

(2)連接OD，過點D作DM⊥BA於點M，結合(1)的結論根據勾股定理可求出ED、EO的長度，結合∠DOE的正弦、餘弦值可得出DM、MO的長度，根據切線的性質可知GA⊥EA，從而得出DM∥GA，根據相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根據相似三角形的性質即可得出GA的長度.

【解答】(1)證明：連接OD，如圖1所示.

∵ED=EF，

∴∠EDF=∠EFD，

∵∠EFD=∠CFO，

∴∠EDF=∠CFO.

∵OD=OC，

∴∠ODF=∠OCF.

∵OC⊥AB，

∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，

∴ED爲⊙O的切線.

(2)解：連接OD，過點D作DM⊥BA於點M，如圖2所示.

由(1)可知△EDO爲直角三角形，設ED=EF=a，EO=EF+FO=a+1，

由勾股定理得：EO2=ED2+DO2，即(a+1)2=a2+32，

解得：a=4，即ED=4，EO=5.

∵sin∠EOD= = ，cos∠EOD= = ，

∴DM=OD•sin∠EOD=3× = ，MO=OD•cos∠EOD=3× = ，

∴EM=EO﹣MO=5﹣ = ，EA=EO+OA=5+3=8.

∵GA切⊙O於點A，

∴GA⊥EA，

∴DM∥GA，

∴△EDM∽△EGA，

∴ ，

∴GA= = =6.

【點評】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、角的三角函數值、相似三角形的判定及性質，解題的關鍵是：(1)通過等腰三角形的性質找出∠EDO=90°;(2)通過相似三角形的性質找出相似比.本題屬於中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據角的計算找出直角，從而證出切線.

25.(10分)(2016•溫州)如圖，拋物線y=x2﹣mx﹣3(m>0)交y軸於點C，CA⊥y軸，交拋物線於點A，點B在拋物線上，且在第一象限內，BE⊥y軸，交y軸於點E，交AO的延長線於點D，BE=2AC.

(1)用含m的代數式表示BE的長.

(2)當m= 時，判斷點D是否落在拋物線上，並說明理由.

(3)若AG∥y軸，交OB於點F，交BD於點G.

①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值.

②連結AE，交OB於點M，若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是　 　.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)根據A、C兩點縱座標相同，求出點A橫座標即可解決問題.

(2)求出點D座標，然後判斷即可.

(3)①首先根據EO=2FG，證明BG=2DE，列出方程即可解決問題.

②求出直線AE、BO的解析式，求出交點M的橫座標，列出方程即可解決問題.

【解答】解：(1)∵C(0，﹣3)，AC⊥OC，

∴點A縱座標爲﹣3，

y=﹣3時，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，

∴點A座標(m，﹣3)，

∴AC=m，

∴BE=2AC=2m.

(2)∵m= ，

∴點A座標( ，﹣3)，

∴直線OA爲y=﹣ x，

∴拋物線解析式爲y=x2﹣ x﹣3，

∴點B座標(2 ，3)，

∴點D縱座標爲3，

對於函數y=﹣ x，當y=3時，x=﹣ ，

∴點D座標(﹣ ，3).

∵對於函數y=x2﹣ x﹣3，x=﹣ 時，y=3，

∴點D在落在拋物線上.

(3)①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，

∴四邊形ECAG是矩形，

∴EG=AC=BG，

∵FG∥OE，

∴OF=FB，∵EG=BG，

∴EO=2FG，

∵ •DE•EO= •GB•GF，

∴BG=2DE，

∵DE∥AC，

∴ = = ，

∵點B座標(2m，2m2﹣3)，

∴OC=2OE，

∴3=2(2m2﹣3)，

∵m>0，

∴m= .

②∵A(m，﹣3)，B(2m，2m2﹣3)，E(0，2m2﹣3)，

∴直線AE解析式爲y=﹣2mx+2m2﹣3，直線OB解析式爲y= x，

由 消去y得到﹣2mx+2m2﹣3= x，解得x= ，

∴點M橫座標爲 ，

∵△AMF的面積=△BFG的面積，

∴ •( +3)•(m﹣ )= •m• •(2m2﹣3)，

整理得到：2m4﹣9m2=0，

∵m>0，

∴m=