同角三角函數間的關係知識點

同角三角函數的基本關係式是三角函數基礎知識的綜合應用,是大學聯考必考內容。本文是小編整理同角三角函數間的關係的資料，僅供參考。

平方關係：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·積的關係：

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

·倒數關係：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等於角A的對邊比斜邊,

餘弦等於角A的鄰邊比斜邊

正切等於對邊比鄰邊,

餘切等於鄰邊比對邊

互餘角的三角函數間的關係：

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

三類：

一)同角三角函數的基本關係：

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1;

tanθcotθ=sinθcscθ=cosθsecθ=1;

(secθ)^2-(tan^θ)^2=(cscθ)^2-(cosθ)^2=1

二)誘導公式，在360°內的變換(角度制)：

取值 sinθ cosθ tanθ

α sinα cosα tanα

-α -sinα cosα -tanα

180+α -sinα -cosα tanα

180-α sinα -cosα -tanα

360+α sinα cosα tanα

360-α -sinα cosα -tanα

90+α cosα -sinα -cotα

90-α cosα sinα cotα

270+α -cosα sinα -cotα

270-α -cosα -sinα cotα

三)兩個角的變換關係，不屬於國中內容：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

“三角學”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都來自拉丁文 Trigonometria。現代三角學一詞最初見於希臘文。最先使用Trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角學：解三角學的簡明處理》，創造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(測量)兩字構成的，原意爲三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文裏沒有這個字，原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學，而是依附於天文學。因此解三角形構成了古代三角學的實用基礎。

早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由於墾殖和畜牧的.需要，人們就開始作長途遷移;後來，貿易的發展和求知的慾望，又推動他們去長途旅行。在當時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經水路沿着海岸線作長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作路標，夜裏則以星星爲指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿着遙遠的異域海岸航行的人指出了正確的道路。

就這樣，最初的以太陽和星星爲目標的天文觀測，以及爲這種觀測服務的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說，三角學是緊密地同天文學相聯繫而邁出自己發展史的第一步的。

公元五世紀到十二世紀，印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。儘管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的內容卻由於印度數學家的努力而大大的豐富了。

三角學中”正弦”和”餘弦”的概念就是由印度數學家首先引進的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應，即將AC與∠AOC對應(如圖五 )，這樣，他們造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

印度人稱連結弧(AB)的兩端的弦(AB)爲”吉瓦”，是弓弦的意思;稱AB的一半(AC) 爲”阿爾哈吉瓦”。後來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解爲”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀，阿拉伯文被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了”sinus”。