1.有20位同學，每位同學都有編號，他們是1號到20號．1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被3整除”，……，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除．1號作了一一驗證：只有編號連續的兩位同學說得不對，其餘同學都對．問：
(1)說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數?
(2)如果告訴你，1號寫的數是七位數，請求出這個數．
2．電視臺要播出一部30集電視連續劇，若要每天安排播出的集數互不相等．則該電視連續劇最多可以播出幾天?
3．若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子裏然後外出，小明從每支盒子裏取出一個小球，然後把這些小球再放到小球數最少的盒子裏去。再把盒子重排了一下．小聰回來，仔細查看，沒有發現有人動過小球和盒子．問：一共有多少隻盒子?
4．機器人從自然數1開始由小到大按如下規則進行染色：
凡能表示爲兩個不同合數之和的自然數都染成紅色，不符合上述要求的自然數染成黃色(比如23可表示成兩個不同合數15和8之和，23要染紅色；1不能表示爲兩個不同合數之和，1染黃色)．問：要染成紅色的數由小到大數下去，第2000個數是多少?請說明理由．
5.在整數中，有用2個以上的連續自然數的和來表達一個整數的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個用2個以上連續自然數的和來表達它的方法.
(1)請寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數．
(2)請寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數．
6.從整數1開始不改變順序的相加，中途分爲兩組，使每組的`和相等.如從1到3的話，1+2=3；從1到20的話：1+2+3+…+14=15+16+17+…+20.
請問：除上述兩例外，能夠列出這樣的最短的整數算式是從1到幾?
7．把一個整數寫成非零自然數的和的形式．如果所用的幾個自然數相同，只是寫的順序不同，也只算做一種方法．另外，只使用一個自然數，也算做一種方法．
(1)比如，把6用三個以內的自然數的和來表示的方法有如下七種：
6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2．請問：把50用三個以內的自然數的和來表示的方法有幾種?
(2)比如，把7用3以下的自然數的和來表示的方法有如下八種：
3+3+1，3+2+2，3+2+1+1，2+2+2+l，3+1+1+1+1，2+2+l+1+1，2+1+1+1+1+1，1+l+1+1+1+1+1．請問：把50用3以下的自然數的和來表示的方法有幾種?
8．洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再擰一下，當然不可能全擰乾．假設使勁擰緊後，衣服上還留有1千克帶污物的水．現在有清水18千克，假設每次用來漂洗的水都是整數千克，試問留下的污物最少是洗滌前的幾分之幾?
