一、基本概念和知識
1.整除——約數和倍數
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c爲整數，b≠0，且a÷b=c，即整數a除以整除b(b不等於0)，除得的商c正好是整數而沒有餘數(或者說餘數是0)，我們就說，a能被b整除(或者說b能整除a)。記作b|a.否則，稱爲a不能被b整除，(或b不能整除a)，記作ba。
如果整數a能被整數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
例如：在上面算式中，15是3的倍數，3是15的約數;63是7的倍數，7是63的約數。
2.數的整除性質
性質1：如果a、b都能被c整除，那麼它們的和與差也能被c整除。
即：如果c|a，c|b，那麼c|(a±b)。
例如：如果2|10，2|6，那麼2|(10+6)，
並且2|(10—6)。
性質2：如果b與c的積能整除a，那麼b與c都能整除a.即：如果bc|a，那麼b|a，c|a。
性質3：如果b、c都能整除a，且b和c互質，那麼b與c的積能整除a。
即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那麼bc|a。
例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1,
那麼(2×7)|28。
性質4：如果c能整除b，b能整除a，那麼c能整除a。
即：如果c|b，b|a，那麼c|a。
例如：如果3|9，9|27，那麼3|27。
3.數的整除特徵
①能被2整除的數的特徵：個位數字是0、2、4、6、8的整數.“特徵”包含兩方面的意義：一方面，個位數字是偶數(包括0)的整數，必能被2整除;另一方面，能被2整除的數，其個位數字只能是偶數(包括0).下面“特徵”含義相似。
②能被5整除的數的特徵：個位是0或5。
③能被3(或9)整除的`數的特徵：各個數位數字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的數的特徵：末兩位數能被4(或25)整除。
例如：1864=1800+64，因爲100是4與25的倍數，所以1800是4與25的倍數.又因爲4|64，所以1864能被4整除.但因爲2564，所以1864不能被25整除.
⑤能被8(或125)整除的數的特徵：末三位數能被8(或125)整除。
例如：29375=29000+375，因爲1000是8與125的倍數，所以29000是8與125的倍數.又因爲125|375，所以29375能被125整除.但因爲8375，所以829375。
⑥能被11整除的數的特徵：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差(大減小)是11的倍數。
例如：判斷123456789這九位數能否被11整除?
解：這個數奇數位上的數字之和是9+7+5+3+1=25，偶數位上的數字之和是8+6+4+2=20.因爲25—20=5，又因爲115，所以11123456789。
再例如：判斷13574是否是11的倍數?
解：這個數的奇數位上數字之和與偶數位上數字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因爲0是任何整數的倍數，所以11|0.因此13574是11的倍數。
⑦能被7(11或13)整除的數的特徵：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差(以大減小)能被7(11或13)整除。
例如：判斷1059282是否是7的倍數?
解：把1059282分爲1059和282兩個數.因爲1059-282=777，又7|777，所以7|1059282.因此1059282是7的倍數。
再例如：判斷3546725能否被13整除?
解：把3546725分爲3546和725兩個數.因爲3546-725=2821.再把2821分爲2和821兩個數，因爲821—2=819，又13|819，所以13|2821，進而13|3546725.
