1、若 爲等差數列,且 則 ;
2、若 爲等差數列, 當爲奇數時, , ( 中間項),
當n爲偶數時。
3、若 爲等差數列,則連續 項的和組成的數列 仍爲等差數列。
4、等差數列 中,若 ,則 , 是其前 項之和,有如下性質,
一般地: ,由此式可以推出:
(1)若 ,則 ;
(2)若 則 ;
(3)若 則 ;
(4)若 ,則 。
5、有兩個等差數列 、 ,若 ,則 。
6、若 爲等差數列, 爲公差,則 。
7、、若 、 都是等差數列,公差分別爲 、 ,若這兩個數列有公共項,則公共項組成的新數列一般仍爲等差數列。
8、等差數列 中, (d爲公差)。
若公差非零的等差數列 中的三項 構成等比數列,則其公比爲: 。
9、等差數列前項和公式 。
10、在等差數列 中,有關 的`最值問題常用鄰項變號法來求解,分類如下:
(1)當 時,滿足 的項數 ,使得 取最大值;
(2)當 時,滿足 的項數 ,使得 取最小值;
說明: 存在最大值,只需 , 存在最小值,只需 。
11、若 爲等比數列,則連續 項的和組成的數列 仍爲等比數列。( )。
12、若 爲等比數列,且 則 ;
13、若 爲等比數列, 、 、 成等差數列,則 、 、 成等比數列,其中 、 、
14、若 爲等比數列,則 。
15、若 爲等差數列,則 。
16、兩個特殊的裂項: , 。
17、由遞推公式求數列通項公式類型與方法歸類:
類型(ⅰ) 方法:累加法
累加公式:
類型(ⅱ) 方法:累乘法
累乘公式:
類型(ⅲ) 方法:不動點法
配成 ,等比數列,其中 ;
類型(ⅳ) 方法有二
方法一:可配成 ,即類型(ⅲ),配成等比數列.
方法二:可變成 ,即類型(ⅰ),累加法.
類型(ⅴ) 方法:取對數法
等價變形爲: ,即類型(ⅲ),配成等比數列.
類型(ⅵ) 方法:特徵方程法
(1)若 ,原式可變成: ,先求等比,再累加求 .
(2)若 ,考察特徵方程, ,設其兩根爲 ,分類討論如下:
①若 ,可求
②若 ,可求 (其中a,b的值由 解出)
類型(ⅶ) 方法:不動點法
類型(ⅷ) 方法:不動點法 說明:"不動點法"可參考相關文獻
特別地:選擇或填空題中,若所求數列某項的項數較大,且求通項不容易,則該數列可能爲周
期數列,可通過歸納求某項。
18、求數列前 項和類型與方法歸類
(1)若 爲等差數列, 爲等比數列,則數列 前 項的和可用錯位相減法求得。
(2)如果一個數列 ,與首末兩項等距離的兩項之和等於首末兩項之和,這樣的數列可用倒序相加法求和。
形如下列題型:已知函數 爲定值 ,
求 的值,就可用倒序相加法求和。
(3)若通項爲 個連續自然數積的倒數,則一般可用裂項法求前 項的和。如 是公差爲 的等差數列,則有 ,
(4)當一個數列既不是等差數列又不是等比數列時,如果能將這個數列分解爲一個等差數列和一個等比數列對應項相加得到的一個新數列,此時可用分組法求和(有時按奇數項和偶數項分組)。
19、數列 是公差非零的等差數列的充要條件是: 是關於 的一次函數,或 是關於 的不含常數項的二次函數。(有時可設 ,若 ,則 是常數列)
20、等差數列 的前 項的算術平均值 是等差數列,等比數列前 項的幾何平均值是等比數列。
21、一般地,若 爲等差數列, 是 的前 項和,則 也是等差數列。
22、等差數列 中, , 且 ,則使前 項和 成立的最大自然數 是 。
