奧數是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度.讓我們一起來閱讀關於完全平方數的數論練習,感受奧數的奇異世界!
1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數爲x，依題意可得
x-45=m^2;(1)
x+44=n^2(2)
(m,n爲自然數)
(2)-(1)可得:
n^2-m^2=89或：(n-m)(n+m)=89
因爲n+m>n-m
又因爲89爲質數，
所以：n+m=89;n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。
2、求證：四個連續的整數的積加上1，等於一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。
分析設四個連續的整數爲，其中n爲整數。欲證
是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。
證明設這四個整數之積加上1爲m，則
m爲平方數
而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數;又因爲2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。
3、求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。
分析形如的數若是完全平方數，必是末位爲1或9的數的'平方，即
或
在兩端同時減去1之後即可推出矛盾。
證明若，則
因爲左端爲奇數，右端爲偶數，所以左右兩端不相等。
若，則
因爲左端爲奇數，右端爲偶數，所以左右兩端不相等。
綜上所述，不可能是完全平方數。
另證由爲奇數知，若它爲完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字爲1，所以不是完全平方數。
4、求滿足下列條件的所有自然數：
(1)它是四位數。
(2)被22除餘數爲5。
(3)它是完全平方數。
解：設，其中n,N爲自然數，可知N爲奇數。
11|N-4或11|N+4
或
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
所以此自然數爲1369,2601,3481,5329,6561,9025。
5、甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰爲n元，全部賣完後，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最後，剩下不足十元，輪到乙拿去。爲了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”國中數學邀請賽試題)?
解：n頭羊的總價爲元，由題意知元中含有奇數個10元，即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。所以，的末位數字爲6，即乙最後拿的是6元，從而爲平均分配，甲應補給乙2元。
爲您提供的關於完全平方數的數論練習，希望給您帶來啓發!
