15.2 乘法公式
15.2.1平方差公式
教學目標
①經歷探索平方差公式的過程，進一步發展學生的符號感和推理能力、歸納能力．
②會推導平方差公式並掌握公式的結構特徵，能運用公式進行簡單的計算．
③瞭解平方差公式的幾何背景，體會數形結合的思想方法．
教學重點與難點
重點：平方差公式的推導及應用．
難點：用公式的結構特徵判斷題目能否使用公式．
教學準備
卡片及多媒體課件
教學設計
引入
同學們，前面我們剛剛學習了整式的乘法，知道了一般情形下兩個多項式相乘的法則．今天我們要繼續學習某些特殊情形下的多項式相乘．下面請同學們應用你所學的知識，自己來探究下面的問題：
探究：計算下列多項式的積，你能發現它們的運算形式與結果有什麼規律嗎?
(1)(x+1)(x-1)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
引導學生用自己的語言敘述所發現的規律，允許學生之間互相補充，教師不急於概括．
注：平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式與多項式相乘的運算法則，利用多項式乘法推導乘法公式是從一般到特殊的過程，對今後學習其他乘法公式的推導有一定的指導意義，同時也可培養學生觀察、歸納、概括等能力，因此在教學中，首先應讓學生思考：你能發現什麼?讓學生經歷觀察(每個算式和結果的特點)、比較(不同算式之間的異同)、歸納(可能具有的規律)、提出猜想的過程，學生在發現規律後，還應通過符號運算對規律進行證明．
舉例
再舉幾個這樣的運算例子．
注：讓學生獨立思考，每人在組內舉一個例子(可口述或書寫)，然後由其中一個小組的代表來彙報．
驗證
我們再來計算(a+b)(a-b)=
公式的推導既是對上述特例的概括，更是從特殊到一般的歸納證明，在此應注意向學生滲透數學的思想方法：特例→歸納→猜想→驗證→用數學符號表示．
注：這裏是對前邊進行的運算的討論，目的是讓學生通過觀察、歸納，鼓勵他們發現這個公式的一些特點，如公式左右邊的結構特徵，爲下一步運用公式進行簡單計算打下基礎．
概括
平方差公式及其形式特徵．
教師可以在前面的基礎上繼續鼓勵學生髮現這個公式的一些特點：如公式左、右邊的結構，並嘗試說明這些特點的原因．
應用
教科書第152頁例1運用平方差公式計算：
(1)(3x+2)(3x-2)
(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
填表：
(a+b)(a-b) a b a2—b2 最後結果
(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22
(b+2a)(2a-b)
(-x+2y)(-x-2y)
對本例的前面兩個小題可以採用學生獨立完成，然後搶答的形式完成；第三小題可採用小組討論的形式，要求學生在給出表格所提示的解法之後，思考別的解法：提取後一個因式裏的負號，將2y看作“a”，將x看作“b”，然後運用平方差公式計算．
注：(1)正確理解公式中字母的廣泛含義，是正確運用這一公式的關鍵．設計本環節，旨在通過將算式中的各項與公式裏的a、b進行對照，進一步體會字母a、b的含義，加深對字母含義廣泛性的理解：即它們既可以是數，也可以是含字母的整式．
(2)在具體計算時，當有一個二項式兩項都負時，往往不易判明a、b，如第三小題，此時可以通過小組合作交流，放手讓學生去思考、討論，有助於學生思維互補、有條理地思考和表達，更有助於學生合作精神的培養．
(3)例1第(3)小題引導學生多角度思考問題，可以加深對公式的理解．
教科書第152頁例2計算：
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
此處仍先讓學生獨立思考，然後自主發言，口述解題思路，允許他們算法的多樣化，然後通過比較，優化算法，達到簡便計算的目的．
注：(1)運用平方差公式進行數的簡便運算的關鍵是根據數的形式特徵，把相乘的兩數化成兩數和與兩數差的乘積形式，教學時可讓學生自己尋找相乘兩數的形式特徵．
(2)第二小題要引導學生注意到一般形式的整式乘法與特殊形式的`整式乘法的區別與聯繫，強調：只有符合公式要求的乘法，才能運用公式簡化運算，其餘的運算仍按整式乘法法則進行．
鞏固
教科書第153頁練習1、2
練習1口答完成；練習2採用大組競賽的形式進行，其中(1)(4)由兩個大組完成，(2)(3)由另兩個大組完成．
注：讓學生通過鞏固練習，達成本節課的基本學習目標，並通過豐富的活動形式，激發學習興趣，培養競爭意識和集體榮譽感．
解釋
你能根據下面的兩個圖形解釋平方差公式嗎?
多媒體動畫演示圖形的變換過程，體會過程中不變的量，並能用代數恆等式表示．
注：(1)重視公式的幾何背景，可以幫助學生運用幾何直觀理解、解決有關代數問題．
(2)此處將教科書的圖15.3-1分解爲兩個圖形，是考慮到學生數與形結合的思想方法掌握的不夠熟練；利用兩個圖形可以清楚變化的過程，便於聯想代數的形式．
談一談：你這一節課有什麼收穫?
注：這兒採取的是先由每個學生自己小結，然後由小組代表作答，把教師做小結變成了課堂上人人做小結，有助於學生概括能力、抽象能力、表達能力的提高．同時，由於人人都要做小結，促使學生注意力集中，學習主動性加強．
1．必做題：教科書第156頁習題15.2第1題
2．選做題：計算：
(1)x2+(y-x)(y+x)
(2)20082-2009×2007
(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)
(4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)
教學後記
