數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。下面是本站小編帶來的2016年宿遷市會考的數學試題及答案解析，希望能對大家有幫助，更多內容歡迎關注應屆畢業生網!
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，有且僅有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填塗在答題卡相應位置上)
1.﹣2的絕對值是( )
A.﹣2 B.﹣ C. D.2
2.下列四個幾何體中，左視圖爲圓的幾何體是( )
A. B. C. D.
3.地球與月球的平均距離爲384 000km，將384 000這個數用科學記數法表示爲( )
A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106
4.下列計算正確的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2a3=a6 C.(a2)3=a5 D.a5÷a2=a3
5.如圖，已知直線a、b被直線c所截.若a∥b，∠1=120°，則∠2的度數爲( )
A.50° B.60° C.120° D.130°
6.一組數據5，4，2，5，6的中位數是( )
A.5 B.4 C.2 D.6
7.如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對摺後展開，摺痕爲MN，再過點B摺疊紙片，使點A落在MN上的點F處，摺痕爲BE.若AB的長爲2，則FM的長爲( )
A.2 B. C. D.1
8.若二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點(﹣1，0)，則方程ax2﹣2ax+c=0的解爲( )
A.x1=﹣3，x2=﹣1 B.x1=1，x2=3 C.x1=﹣1，x2=3 D.x1=﹣3，x2=1
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上)
9.因式分解：2a2﹣8= .
10.計算： = .
11.若兩個相似三角形的面積比爲1：4，則這兩個相似三角形的周長比是 .
12.若一元二次方程x2﹣2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是 .
13.某種油菜籽在相同條件下發芽試驗的結果如表：
每批粒數n 100 300 400 600 1000 2000 3000
發芽的頻數m 96 284 380 571 948 1902 2848
發芽的頻率
0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949
那麼這種油菜籽發芽的概率是 (結果精確到0.01).
14.如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C爲圓心，CB爲半徑的圓交AB於點D，則BD的長爲 .
15.如圖，在平面直角座標系中，一條直線與反比例函數y= (x>0)的圖象交於兩點A、B，與x軸交於點C，且點B是AC的中點，分別過兩點A、B作x軸的平行線，與反比例函數y= (x>0)的圖象交於兩點D、E，連接DE，則四邊形ABED的面積爲 .
16.如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長爲 .
三、解答題(本大題共10題，共72分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.計算：2sin30°+3﹣1+( ﹣1)0﹣ .
18.解不等式組： .
19.某校對七、八和九年級的學生進行體育水平測試，成績評定爲優秀、良好、合格、不合格四個等第.爲了解這次測試情況，學校從三個年級隨機抽取200名學生的體育成績進行統計分析.相關數據的統計圖、表如下：
各年級學生成績統計表
優秀 良好 合格 不合格
七年級 a 20 24 8
八年級 29 13 13 5
九年級 24 b 14 7
根據以上信息解決下列問題：
(1)在統計表中，a的值爲 ，b的值爲 ;
(2)在扇形統計圖中，八年級所對應的扇形圓心角爲 度;
(3)若該校三個年級共有2000名學生參加考試，試估計該校學生體育成績不合格的人數.
20.在一隻不透明的袋子中裝有2個白球和2個黑球，這些球除顏色外都相同.
(1)若先從袋子中拿走m個白球，這時從袋子中隨機摸出一個球是黑球的事件爲“必然事件”，則m的值爲 ;
(2)若將袋子中的球攪勻後隨機摸出1個球(不放回)，再從袋中餘下的3個球中隨機摸出1個球，求兩次摸到的球顏色相同的概率.
21.如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC.求證：BE=CF.
22.如圖，大海中某燈塔P周圍10海里範圍內有暗礁，一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達點B處，這時觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向.如果海輪繼續向正東方向航行，會有觸礁的危險嗎?試說明理由.(參考數據： ≈1.73)
23.如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)當BD是⊙O的直徑時(如圖2)，求∠CAD的度數.
24.某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元;超過30人且不超過m(30
(1)求y關於x的函數表達式;
(2)景點工作人員發現：當接待某團隊人數超過一定數量時，會出現隨着人數的增加收取的總費用反而減少這一現象.爲了讓收取的總費用隨着團隊中人數的增加而增加，求m的取值範圍.
25.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點(A、B兩點除外)，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉角α得到△CEF，其中點E是點A的對應點，點F是點D的對應點.
(1)如圖1，當α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF.求證：GF∥AC;
(2)如圖2，當90°≤α≤180°時，AE與DF相交於點M.
①當點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數;
②設D爲邊AB的中點，當α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長.
26.如圖，在平面直角座標系xOy中，將二次函數y=x2﹣1的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度後再向上平移8個單位長度，得到二次函數圖象N.
(1)求N的函數表達式;
(2)設點P(m，n)是以點C(1，4)爲圓心、1爲半徑的圓上一動點，二次函數的圖象M與x軸相交於兩點A、B，求PA2+PB2的最大值;
(3)若一個點的橫座標與縱座標均爲整數，則該點稱爲整點.求M與N所圍成封閉圖形內(包括邊界)整點的個數.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，有且僅有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填塗在答題卡相應位置上)
1.﹣2的絕對值是( )
A.﹣2 B.﹣ C. D.2
【考點】絕對值.
【分析】計算絕對值要根據絕對值的定義求解.第一步列出絕對值的表達式;第二步根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號.
【解答】解：∵﹣2<0，
∴|﹣2|=﹣(﹣2)=2.
故選D.
2.下列四個幾何體中，左視圖爲圓的幾何體是( )
A. B. C. D.
【考點】簡單幾何體的三視圖.
【分析】根據左視圖是從左邊看所得到的圖形逐一判斷可得.
【解答】解：A、球的左視圖是圓，故選項正確;
B、正方體的左視圖是正方形，故選項錯誤;
C、圓錐的左視圖是等腰三角形，故選項錯誤;
D、圓柱的左視圖是長方形，故選項錯誤;
故選：A.
3.地球與月球的平均距離爲384 000km，將384 000這個數用科學記數法表示爲( )
A.3.84×103 B.3.84×104 C.3.84×105 D.3.84×106
【考點】科學記數法—表示較大的數.
【分析】科學記數法的表示形式爲a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n爲整數.確定n的值是易錯點，由於384 000有6位，所以可以確定n=6﹣1=5.
【解答】解：384 000=3.84×105.
故選：C.
4.下列計算正確的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2a3=a6 C.(a2)3=a5 D.a5÷a2=a3
【考點】同底數冪的除法;合併同類項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據合併同類項，可判斷A，根據同底數冪的乘法底數不變指數相加，可判斷B，根據冪的乘方底數不變指數相乘，可判斷C，根據同底數冪的除法底數不變指數相減，可判斷D.
【解答】解：A、不是同類項不能合併，故A錯誤;
B、同底數冪的乘法底數不變指數相加，故B錯誤;
C、冪的乘方底數不變指數相乘，故C錯誤;
D、同底數冪的除法底數不變指數相減，故D正確;
故選：D.
5.如圖，已知直線a、b被直線c所截.若a∥b，∠1=120°，則∠2的度數爲( )
A.50° B.60° C.120° D.130°
【考點】平行線的性質.
【分析】根據鄰補角的定義求出∠3，再根據兩直線平行，同位角相等解答.
【解答】解：如圖，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°.
故選：B.
6.一組數據5，4，2，5，6的中位數是( )
A.5 B.4 C.2 D.6
【考點】中位數.
【分析】先將題目中數據按照從小到大排列，從而可以得到這組數據的中位數，本題得以解決.
【解答】解：將題目中數據按照從小到大排列是：
2，4，5，5，6，
故這組數據的中位數是5，
故選A.
7.如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對摺後展開，摺痕爲MN，再過點B摺疊紙片，使點A落在MN上的點F處，摺痕爲BE.若AB的長爲2，則FM的長爲( )
A.2 B. C. D.1
【考點】翻折變換(摺疊問題).
【分析】根據翻折不變性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值.
【解答】解：∵四邊形ABCD爲正方形，AB=2，過點B摺疊紙片，使點A落在MN上的點F處，
∴FB=AB=2，BM=1，
則在Rt△BMF中，
FM= ，
故選：B.
8.若二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點(﹣1，0)，則方程ax2﹣2ax+c=0的解爲( )
A.x1=﹣3，x2=﹣1 B.x1=1，x2=3 C.x1=﹣1，x2=3 D.x1=﹣3，x2=1
【考點】拋物線與x軸的.交點.
【分析】直接利用拋物線與x軸交點求法以及結合二次函數對稱性得出答案.
【解答】解：∵二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象經過點(﹣1，0)，
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一個解爲：x=﹣1，
∵拋物線的對稱軸爲：直線x=1，
∴二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象與x軸的另一個交點爲：(3，0)，
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解爲：x1=﹣1，x2=3.
故選：C.
二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上)
9.因式分解：2a2﹣8= 2(a+2)(a﹣2) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】首先提取公因式2，進而利用平方差公式分解因式即可.
【解答】解：2a2﹣8=2(a2﹣4)=2(a+2)(a﹣2).
故答案爲：2(a+2)(a﹣2).
10.計算： = x .
【考點】分式的加減法.
【分析】進行同分母分式加減運算，最後要注意將結果化爲最簡分式.
【解答】解： = = =x.故答案爲x.
11.若兩個相似三角形的面積比爲1：4，則這兩個相似三角形的周長比是 1：2 .
【考點】相似三角形的性質.
【分析】根據相似三角形面積的比等於相似比的平方求出相似比，根據似三角形周長的比等於相似比得到答案.
【解答】解：∵兩個相似三角形的面積比爲1：4，
∴這兩個相似三角形的相似比爲1：2，
∴這兩個相似三角形的周長比是1：2，
故答案爲：1：2.
12.若一元二次方程x2﹣2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是 k<1 .
【考點】根的判別式.
【分析】直接利用根的判別式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k>0進而求出答案.
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有兩個不相等的實數根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k>0，
解得：k<1，
則k的取值範圍是：k<1.
故答案爲：k<1.
13.某種油菜籽在相同條件下發芽試驗的結果如表：
每批粒數n 100 300 400 600 1000 2000 3000
發芽的頻數m 96 284 380 571 948 1902 2848
發芽的頻率
0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949
那麼這種油菜籽發芽的概率是 0.95 (結果精確到0.01).
【考點】利用頻率估計概率.
【分析】觀察表格得到這種油菜籽發芽的頻率穩定在0.95附近，即可估計出這種油菜發芽的概率.
【解答】解：觀察表格得到這種油菜籽發芽的頻率穩定在0.95附近，
則這種油菜籽發芽的概率是0.95，
故答案爲：0.95.
14.如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C爲圓心，CB爲半徑的圓交AB於點D，則BD的長爲 2 .
【考點】垂徑定理.
【分析】如圖，作CE⊥AB於E，在RT△BCE中利用30度性質即可求出BE，再根據垂徑定理可以求出BD.
【解答】解：如圖，作CE⊥AB於E.
∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°，
在RT△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CE= BC=1，BE= CE= ，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2 .
故答案爲2 .
15.如圖，在平面直角座標系中，一條直線與反比例函數y= (x>0)的圖象交於兩點A、B，與x軸交於點C，且點B是AC的中點，分別過兩點A、B作x軸的平行線，與反比例函數y= (x>0)的圖象交於兩點D、E，連接DE，則四邊形ABED的面積爲 .
【考點】反比例函數係數k的幾何意義.
【分析】根據點A、B在反比例函數y= (x>0)的圖象上，可設出點B座標爲( ，m)，再根據B爲線段AC的中點可用m表示出來A點的座標，由AD∥x軸、BE∥x軸，即可用m表示出來點D、E的座標，結合梯形的面積公式即可得出結論.
【解答】解：∵點A、B在反比例函數y= (x>0)的圖象上，
設點B的座標爲( ，m)，
∵點B爲線段AC的中點，且點C在x軸上，
∴點A的座標爲( ，2m).
∵AD∥x軸、BE∥x軸，且點D、E在反比例函數y= (x>0)的圖象上，
∴點D的座標爲( ，2m)，點E的座標爲( ，m).
∴S梯形ABED= ( + )×(2m﹣m)= .
故答案爲： .
16.如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長爲 4 .
【考點】矩形的性質;等腰三角形的性質;勾股定理.
【分析】如圖，當AB=AD時，滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個.
【解答】解：如圖，當AB=AD時，滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形(P3B=P3C)，
則AB=AD=4，
故答案爲4.
三、解答題(本大題共10題，共72分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.計算：2sin30°+3﹣1+( ﹣1)0﹣ .
【考點】實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】直接利用特殊角的三角函數值結合零指數冪的性質以及負整數指數冪的性質分別化簡進而求出答案.
【解答】解：2sin30°+3﹣1+( ﹣1)0﹣
=2× + +1﹣2
= .
18.解不等式組： .
【考點】解一元一次不等式組.
【分析】根據解不等式組的方法可以求得不等式組的解集，從而可以解答本題.
【解答】解：
由①得，x>1，
由②得，x<2，
由①②可得，原不等式組的解集是：1
19.某校對七、八和九年級的學生進行體育水平測試，成績評定爲優秀、良好、合格、不合格四個等第.爲了解這次測試情況，學校從三個年級隨機抽取200名學生的體育成績進行統計分析.相關數據的統計圖、表如下：
各年級學生成績統計表
優秀 良好 合格 不合格
七年級 a 20 24 8
八年級 29 13 13 5
九年級 24 b 14 7
根據以上信息解決下列問題：
(1)在統計表中，a的值爲 28 ，b的值爲 15 ;
(2)在扇形統計圖中，八年級所對應的扇形圓心角爲 108 度;
(3)若該校三個年級共有2000名學生參加考試，試估計該校學生體育成績不合格的人數.
【考點】扇形統計圖;用樣本估計總體.
【分析】(1)根據學校從三個年級隨機抽取200名學生的體育成績進行統計分析和扇形統計圖可以求得七年級抽取的學生數，從而可以求得a的值，也可以求得九年級抽取的學生數，進而得到b的值;
(2)根據扇形統計圖可以求得八年級所對應的扇形圓心角的度數;
(3)根據表格中的數據可以估計該校學生體育成績不合格的人數.
【解答】解：(1)由題意和扇形統計圖可得，
a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28，
b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15，
故答案爲：28，15;
(2)由扇形統計圖可得，
八年級所對應的扇形圓心角爲：360°×(1﹣40%﹣30%)=360°×30%=108°，
故答案爲：108;
(3)由題意可得，
2000× =200人，
即該校三個年級共有2000名學生參加考試，該校學生體育成績不合格的有200人.
20.在一隻不透明的袋子中裝有2個白球和2個黑球，這些球除顏色外都相同.
(1)若先從袋子中拿走m個白球，這時從袋子中隨機摸出一個球是黑球的事件爲“必然事件”，則m的值爲 2 ;
(2)若將袋子中的球攪勻後隨機摸出1個球(不放回)，再從袋中餘下的3個球中隨機摸出1個球，求兩次摸到的球顏色相同的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;隨機事件.
【分析】(1)由必然事件的定義可知：透明的袋子中裝的都是黑球，從袋子中隨機摸出一個球是黑球的事件爲“必然事件”才能成立，所以m的值即可求出;
(2)列表得出所有等可能的情況數，找出兩次摸到的球顏色相同的情況數，即可求出所求的概率.
【解答】解：
(1)∵在一隻不透明的袋子中裝有2個白球和2個黑球，這些球除顏色外都相同，從袋子中拿走m個白球，這時從袋子中隨機摸出一個球是黑球的事件爲“必然事件”，
∴透明的袋子中裝的都是黑球，
∴m=2，
故答案爲：2;
(2)設紅球分別爲H1、H2，黑球分別爲B1、B2，列表得：
第二球
第一球 H1 H2 B1 B2
H1 (H1，H2) (H1，B1) (H1，B2)
H2 (H2，H1) (H2，B1) (H2，B2)
B1 (B1，H1) (B1，H2) (B1，B2)
B2 (B2，H1) (B2，H2) (B2，B1)
總共有12種結果，每種結果的可能性相同，兩次都摸到球顏色相同結果有4種，
所以兩次摸到的球顏色相同的概率= = .
21.如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC.求證：BE=CF.
【考點】平行四邊形的判定與性質.
【分析】先利用平行四邊形性質證明DE=CF，再證明EB=ED，即可解決問題.
【解答】證明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴DE=CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CF.
22.如圖，大海中某燈塔P周圍10海里範圍內有暗礁，一艘海輪在點A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達點B處，這時觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向.如果海輪繼續向正東方向航行，會有觸礁的危險嗎?試說明理由.(參考數據： ≈1.73)
【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.
【分析】作PC⊥AB於C，如圖，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，設PC=x，先判斷△PBC爲等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定義得到8+x= ，解得x=4( +1)≈10.92，即AC≈10.92，然後比較AC與10的大小即可判斷海輪繼續向正東方向航行，是否有觸礁的危險.
【解答】解：沒有觸礁的危險.理由如下：
作PC⊥AB於C，如圖，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，
設PC=x，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°，
∴△PBC爲等腰直角三角形，
∴BC=PC=x，
在Rt△PAC中，∵tan∠PAC= ，
∴AC= ，即8+x= ，解得x=4( +1)≈10.92，
即AC≈10.92，
∵10.92>10，
∴海輪繼續向正東方向航行，沒有觸礁的危險.
23.如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)當BD是⊙O的直徑時(如圖2)，求∠CAD的度數.
【考點】切線的判定;圓周角定理;三角形的外接圓與外心.
【分析】(1)連接AO，延長AO交⊙O於點E，則AE爲⊙O的直徑，連接DE，由已知條件得出∠ABC=∠CAD，由圓周角定理得出∠ADE=90°，證出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出結論;
(2)由圓周角定理得出∠BAD=90°，由角的關係和已知條件得出∠ABC=22.5°，由(1)知：∠ABC=∠CAD，即可得出結果.
【解答】(1)證明：連接AO，延長AO交⊙O於點E，則AE爲⊙O的直徑，連接DE，如圖所示：
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∵AE爲⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°﹣∠AED，
∵∠AED=∠ABD，
∴∠AED=∠ABC=∠CAD，
∴∠EAD=90°﹣∠CAD，
即∠EAD+∠CAD=90°，
∴EA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線;
(2)解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠ADB=90°，
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，
∴4∠ABC=90°，
∴∠ABC=22.5°，
由(1)知：∠ABC=∠CAD，
∴∠CAD=22.5°.
24.某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元;超過30人且不超過m(30
(1)求y關於x的函數表達式;
(2)景點工作人員發現：當接待某團隊人數超過一定數量時，會出現隨着人數的增加收取的總費用反而減少這一現象.爲了讓收取的總費用隨着團隊中人數的增加而增加，求m的取值範圍.
【考點】二次函數的應用;分段函數.
【分析】(1)根據收費標準，分0
(2)由(1)可知當0
【解答】解：(1)y= .
(2)由(1)可知當0
當30
∵a=﹣1<0，
∴x≤75時，y隨着x增加而增加，
∴爲了讓收取的總費用隨着團隊中人數的增加而增加，
∴30
25.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點(A、B兩點除外)，將△CAD繞點C按逆時針方向旋轉角α得到△CEF，其中點E是點A的對應點，點F是點D的對應點.
(1)如圖1，當α=90°時，G是邊AB上一點，且BG=AD，連接GF.求證：GF∥AC;
(2)如圖2，當90°≤α≤180°時，AE與DF相交於點M.
①當點M與點C、D不重合時，連接CM，求∠CMD的度數;
②設D爲邊AB的中點，當α從90°變化到180°時，求點M運動的路徑長.
【考點】幾何變換綜合題.
【分析】(1)欲證明GF∥AC，只要證明∠A=∠FGB即可解決問題.
(2)①先證明A、D、M、C四點共圓，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解決問題.
②利用①的結論可知，點M在以AC爲直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，利用弧長公式即可解決問題.
【解答】解：(1)如圖1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△CEF是由△CAD旋轉逆時針α得到，α=90°，
∴CB與CE重合，
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∵BG=AD=BF，
∴∠BGF=∠BFG=45°，
∴∠A=∠BGF=45°，
∴GF∥AC.
(2)①如圖2中，∵CA=CE，CD=CF，
∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，
∵∠ACD=∠ECF，
∴∠ACE=∠CDF，
∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，
∴∠CAE=∠CDF，
∴A、D、M、C四點共圓，
∴∠CMF=∠CAD=45°，
∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.
②如圖3中，O是AC中點，連接OD、CM.
∵AD=DB，CA=CB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由①可知A、D、M、C四點共圓，
∴當α從90°變化到180°時，
點M在以AC爲直徑的⊙O上，運動路徑是弧CD，
∵OA=OC，CD=DA，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴ 的長= = .
∴當α從90°變化到180°時，點M運動的路徑長爲 .
26.如圖，在平面直角座標系xOy中，將二次函數y=x2﹣1的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度後再向上平移8個單位長度，得到二次函數圖象N.
(1)求N的函數表達式;
(2)設點P(m，n)是以點C(1，4)爲圓心、1爲半徑的圓上一動點，二次函數的圖象M與x軸相交於兩點A、B，求PA2+PB2的最大值;
(3)若一個點的橫座標與縱座標均爲整數，則該點稱爲整點.求M與N所圍成封閉圖形內(包括邊界)整點的個數.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)根據二次函數N的圖象是由二次函數M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函數N的頂點座標即可解決問題.
(2)由PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m﹣1)2+n2=2(m2+n2)+2=2PO2+2可知OP最大時，PA2+PB2最大，求出OP的最大值即可解決問題.
(3)畫出函數圖象即可解決問題.
【解答】(1)解：二次函數y=x2﹣1的圖象M沿x軸翻折得到函數的解析式爲y=﹣x2+1，此時頂點座標(0，1)，
將此圖象向右平移2個單位長度後再向上平移8個單位長度得到二次函數圖象N的頂點爲(2，9)，
故N的函數表達式y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5.
(2)∵A(﹣1，0)，B(1，0)，
∴PA2+PB2=(m+1)2+n2+(m﹣1)2+n2=2(m2+n2)+2=2PO2+2，
∴當PO最大時PA2+PB2最大.如圖，延長OC與⊙O交於點P，此時OP最大，
∴OP的最大值=OC+PO= +1，
∴PA2+PB2最大值=2( +1)2+2=38+4 .
(3)M與N所圍成封閉圖形如圖所示，
由圖象可知，M與N所圍成封閉圖形內(包括邊界)整點的個數爲25個.
