2018屆湖北省高三理科數學四模擬試卷題目及答案

A.[﹣3，3] B.(﹣∞，﹣3]∪[3，+∞) C.(﹣∞，﹣1]∪[1，+∞) D.[﹣1，1]

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合不等式之間的關係進行求解即可.

【解答】解：x>2m2﹣3是﹣1

∴(﹣1，4)⊆(2m2﹣3，+∞)，

∴2m2﹣3≤﹣1，

解得﹣1≤m≤1，

故選：D.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據不等式的關係是解決本題的關鍵.

5.如圖，網格紙上小正方形的邊長爲1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積爲(　　)

A. B. C. D.

【考點】由三視圖求面積、體積.

【分析】由題意，該幾何體是由一個半圓柱與一個半球組成的組合體，其中半圓柱的底面半徑爲1，高爲4，半球的半徑爲1，即可求出幾何體的體積.

【解答】解：由題意，該幾何體是由一個半圓柱與一個半球組成的組合體，

其中半圓柱的底面半徑爲1，高爲4，半球的半徑爲1，

幾何體的體積爲 = π，

故選C.

【點評】本題考查三視圖，考查幾何體體積的計算，考查學生的計算能力，屬於中檔題.

6.已知直線l過雙曲線Γ： =1(a>0，b>0)的一個焦點且與Γ的一條漸近線平行，若l在y軸上的截距爲 a，則雙曲線的離心率爲(　　)

A. B.2 C. D.2

【考點】雙曲線的簡單性質.

【分析】利用已知條件，求出直線方程，代入焦點座標，轉化求解雙曲線的.離心率即可.

【解答】解：不妨設直線l過雙曲線的左焦點(﹣c，0)，要使l在y軸上的截距爲：爲 a，直線l方程：y= ，直線經過(﹣c，0)，可得 ，可得 ， e，平方化簡解得e= .

故選：A.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力.

7.已知定義[x]表示不超過的最大整數，如[2]=2，[2，2]=2，執行如圖所示的程序框圖，則輸出S=(　　)

A.1991 B.2000 C.2007 D.2008

【考點】程序框圖.

【分析】根據題意，模擬程序框圖的運行過程，依次寫出每次循環得到的i，S的值，當i=10時，退出循環，輸出的S的值爲2000.

【解答】解：i=1，s=2017，i=2;

s=2016，i=3;

s=2016，i=3;

s=2016，i=4，

s=2016，i=5;

s=2015，i=6;

s=2010，i=7;

s=2009，i=8;

s=2008，i=9;

s=2007，i=10;

s=2000，跳出循環，輸出s=2000，

故選：B.

【點評】本題考查程序框圖和算法，考查學生的運算能力.

8.若tanα= ，則sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=(　　)

A.1 B. C. D.

【考點】三角函數的化簡求值.

【分析】利用同角三角函數的基本關係，二倍角公式求得要求式子的值.

【解答】解：∵tanα= ，則sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=sin2α﹣cos2α+3sinαcosα

= = = ，

故選：D.

【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關係，二倍角公式，屬於基礎題.

9.如圖所示，單位位圓上的兩個向量 相互垂直，若向量 滿足( )( )=0，則| |的取值範圍是(　　)

A.[0，1] B.[0， ] C.[1， ] D.[1，2]

【考點】平面向量數量積的運算.

【分析】先由條件可得出 ，| |= ，這樣便可由 得出 ，從而得出 的取值範圍.

【解答】解：由條件， ， ;

∵ ;

∴ ;

∴ ;

∴ ;

∴ 的取值範圍爲 .

故選B.

【點評】考查向量垂直的充要條件，單位向量的概念，向量數量積的運算及計算公式.

10.直線y=kx﹣4，k>0與拋物線y2=2 x交於A，B兩點，與拋物線的準線交於點C，若AB=2BC，則k=(　　)

A. B. C.2 D.

【考點】直線與拋物線的位置關係.

【分析】將直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及相似三角形的性質，即可求得x1，x2，由x1x2= ，代入計算即可求得k的值.

【解答】解：如圖，過AB兩點作拋物線的準線拋物線的準線的垂線，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則 ，整理得：k2x2﹣(8k+2 )x+16=0，

則x1+x2= ，x1x2= ，

顯然△CB′B∽△CA′A，則 = = ，

由拋物線的定義得： = = ，

∴ = ，整理得：4x2=(x1+x2)﹣ ，

∴x2= ﹣ ，

則x1= + ，由x1x2= ，則( + )( ﹣ )= ，由k>，0解得：k= ，

或將選項一一代入驗證，只有A成立，

故選：A.

【點評】本題考查直線與拋物線的位置關係，考查韋達定理，相似三角形的性質，計算量大，計算過程複雜，考查數形結合思想，屬於中檔題.

11.已知函數f(x)=cos(2x+φ)，且 f(x)dx=0，則下列說法正確的是(　　)

A.f(x)的一條對稱軸爲x=

B.存在φ使得f(x)在區間[﹣ ， ]上單調遞減

C.f(x)的一個對稱中心爲( ，0)

D.存在φ使得f(x)在區間[ ， ]上單調遞增

【考點】餘弦函數的圖象.

【分析】利用f(x)=cos(2x+φ)， f(x)dx，求出φ值，然後找出分析選項，即可得出結論.

【解答】解：f(x)=cos(2x+φ)， f(x)dx= sin(2x+φ) = sin( +φ)+ sinφ=0，

∴tanφ=﹣ ，解得φ=﹣ +kπ，k∈Z.

令2x﹣ +kπ=nπ，n∈Z，可得x= (n﹣k)π+ ，

令 (n﹣k)π+ = π， = ，矛盾;

令2mπ≤2x﹣ +kπ≤π+2mπ，k爲奇數，單調減區間爲[ +mπ， +mπ]，不符合題意，k爲偶數，單調減區間爲[ +mπ， +mπ]，不符合題意;

令2x﹣ +kπ= π+mπ，x= +(m﹣k) = ，∴ = ，矛盾;

令π+2mπ≤2x﹣ +kπ≤2π+2mπ，k爲奇數，單調減區間爲[ +mπ， +mπ]，符合題意.

故選D.

【點評】本題主要考查定積分，餘弦函數的圖象的性質，屬於中檔題.

12.設定義在R上的可導函數f(x)的導函數爲f′(x)，若f(3)=1，且3f(x)+xf′(x)>ln(x+1)，則不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集爲(　　)

A.(2014，+∞) B.(0，2014) C.(0，2020) D.(2020，+∞)

【考點】利用導數研究函數的單調性;函數恆成立問題;導數的運算.

【分析】利用函數的可導性，構造函數g(x)=x3f(x)，利用函數的單調性以及不等式，轉化求解不等式的解集即可.

【解答】解：定義在R上的可導函數f(x)的導函數爲f′(x)，3f(x)+xf′(x)>ln(x+1)，

所以3x2f(x)+x3f′(x)>x2ln(x+1)>0(x>0)，可得[x3f(x)]′>0，

所以函數g(x)=x3f(x)在(0，+∞)是增函數，

因爲(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0，且f(3)=1，

所以(x﹣2017)3f(x﹣2017)>33f(3)，即g(x﹣2017)>g(3)，

所以x﹣2017>3，解得x>2020.

則不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集爲：(2020，+∞).

故選：D.

【點評】本題考查函數的導數，不等式的解集，不等式恆成立問題存在性問題，考查轉化思想以及計算能力.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(2016﹣x)(1+x)2017的展開式中，x2017的係數爲　﹣1　.(用數字作答)

【考點】二項式定理的應用.

【分析】利用二項展開式的通項公式，求得(1+x)2017的展開式的通項公式，可得(2016﹣x)(1+x)2017的展開式中，x2017的係數.

【解答】解：由於(1+x)2017的展開式的通項公式爲Tr+1= xr，

分別令r=2017，r=2016，

可得(2016﹣x)(1+x)2017的展開式中x2017的係數爲2016 ﹣ =2016﹣2017=﹣1，

故答案爲：﹣1.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的係數，屬於基礎題

14.已知點(x，y)滿足約束條件 ，則 的取值範圍爲　[﹣ ， ]　.

【考點】簡單線性規劃.

【分析】畫出滿足條件的平面區域，求出角點的座標，結合z= 的幾何意義求出其範圍即可.

【解答】解：不等式組表示的可行域如圖：z= 的幾何意義是可行域內的點與(﹣3，0)連線的斜率：結合圖形可知在A處取得最大值，在B處取得最小值，由： 解得A(2，4)，z= 的最大值爲： ;

由 解得B(﹣1，﹣3)，z= 的最小值爲：﹣ .

則 的取值範圍爲[﹣ ， ].

故答案爲：[﹣ ， ].

【點評】本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，判斷目標函數的幾何意義是解題的關鍵，是一道中檔題.

15.已知函數f(x)= ，若f(a)=f(b)(0

【考點】基本不等式.

【分析】根據函數的性質可得ab=1，再根據基本不等式得到 當取得最小值，a，b的值，再代值計算即可

【解答】解：由f(a)=f(b)可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1，

則 = =4a+b≥2 =4，當且僅當b=4a時， 取得最小值，

由 ，可得a= ，b=2，

∴f(a+b)=f( )=lg =1﹣2lg2，

故答案爲：1﹣2lg2.

【點評】本題主要考查函數的性質以及基本不等式的應用，意在考查學生的邏輯推理能力.

16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別爲a，b，c，且 = ，則 cosC﹣2sinB的最小值爲　﹣1　.

【考點】餘弦定理;正弦定理.

【分析】利用餘弦定理化簡已知等式可求b2+c2﹣a2=bc，進而利用餘弦定理可求cosA= ，可得A= ，C= ﹣B，利用三角函數恆等變換的應用化簡可得 cosC﹣2sinB=﹣sin(B+ )，進而利用正弦函數的圖象和性質可求最小值.

【解答】解：在△ABC中，∵ = ，

∴ = ，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，

∴cosA= = ，

∴A= ，C= ﹣B，

∴ cosC﹣2sinB= cos( ﹣B)﹣2sinB=﹣ sinB﹣ cosB=﹣sin(B+ )≥﹣1，當B+ = 時等號成立，

即當B= ，C= 時， cosC﹣2sinB的最小值爲﹣1.

故答案爲：﹣1.

【點評】本題主要考查了三角函數恆等變換的應用，餘弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了學生的運算求解能力和轉化思想，屬於基礎題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.

17.已知等差數列{an}滿足an>1，其前n項和Sn滿足6Sn=an2+3an+2

(1)求數列{an}的通項公式及前n項和Sn;

(2)設數列{bn}滿足bn= ，且其前n項和爲Tn，證明： ≤Tn< .

【考點】數列的求和;數列遞推式.

【分析】(1)當n=1、2時，解得a1.a2，利用公差d=a2﹣a1=3.可得an=a1+(n﹣1)d=3n﹣1.

(2)由(1)可得an=3n﹣1.利用“裂項求和”即可得出數列{bn}的前n項和Tn.

【解答】解：(1)∵6Sn=an2+3an+2，∴6a1=a12+3a1+2，

解得a1=1或a1=2.∵an>1，∴a1=2.

當n=2時，6S2=a22+3a2+2，即6(2+a2)=a22+3a2+2，解得a2=5或a2=﹣2(舍).

∴等差數列{an}的公差d=a2﹣a1=3.

∴an=a1+(n﹣1)d=3n﹣1.

前n項和Sn= .

(2) ，

前n項和爲Tn=b1+b2+b3+…+bn=

=

∵bn>0，∴ ，∴ ≤Tn< .

【點評】本題考查了遞推式的應用、等差數列的定義與通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.

18.如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，過點C作CO⊥AB，垂足爲O，將△OBC沿CO折起，如圖2使得平面CBO與平面AOCD所成的二面角的大小爲θ(0<θ<π)，E，F分別爲BC，AO的中點

(1)求證：EF∥平面ABD

(2)若θ= ，求二面角F﹣BD﹣O的餘弦值.

【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.

【分析】(1)過點E作EH∥BD，交CD於點H，連結HF，推導出平面EHF∥平面ABD，由此能證明EF∥平面ABD.

(2)由題得平面CBO與平面AOCD所成二面角的平面角爲∠BOA=θ，連結BF，以點F爲座標原點，以FO，FH，FB分別爲x，y，z軸，建立空間直角座標系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O的餘弦值.

【解答】證明：(1)過點E作EH∥BD，交CD於點H，連結HF，

則H爲CD中點，∴HF∥AD

∵AD⊂平面ABD，HF⊄平面ABD，

∴HF∥平面ABD，

同理，EH∥平面ABD，

∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，

∵EF⊂平面EHF，∴EF∥平面ABD.

解：(2)由題得平面CBO與平面AOCD所成二面角的平面角爲∠BOA=θ，

連結BF，∵θ= ，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，

以點F爲座標原點，以FO，FH，FB分別爲x，y，z軸，建立空間直角座標系，

則F(0，0，0)，B(0，0， )，D(﹣1，2，0)，O(1，0，0)，

設平面FBD的法向量 =(x，y，z)，

則 ，取x=2，解得 =(2，﹣1，0)

同理得平面BDO的一個法向量 =( ，1)，

設二面角F﹣BD﹣O的平面角爲α，

cosα= = = ，

∴二面角F﹣BD﹣O的餘弦值爲 .

【點評】本題考查空間直線與增面的位置關係、空間角、數學建模，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉化化歸思想、數形結合思想，是中檔題.

19.隨着網絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多樣化，某調查機構隨機抽取10名購物者進行採訪，5名男性購物者中有3名傾向於選擇網購，2名傾向於選擇實體店，5名女性購物者中有2名傾向於選擇網購，3名傾向於選擇實體店.

(1)若從10名購物者中隨機抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向於選擇實體店的概率;

(2)若從這10名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向於選擇網購的男性購物者的人數，求X的分佈列和數學期望.

【考點】離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分佈列.

【分析】(1)設“至少1名傾向於選擇實體店”爲事件A，則 表示事件“隨機抽取2名，(其中男、女各一名)都選擇網購”，則P(A)=1﹣P .

(2)X的取值爲0，1，2，3.P(X=k)= ，即可得出.

【解答】解：(1)設“至少1名傾向於選擇實體店”爲事件A，

則 表示事件“隨機抽取2名，(其中男、女各一名)都選擇網購”，

則P(A)=1﹣P =1﹣ = .

(2)X的取值爲0，1，2，3.P(X=k)= ，

P(X=0)= ，P(X=1)= ，P(X=2)= ，P(X=3)= .

E(X)=0× +1× +2× +3× = .

【點評】本題考查了對立與互相獨立事件概率計算公式、超幾何分佈列與數學期望、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.

20.已知橢圓C： =1(a>b>0)過點A(0，3)，與雙曲線 =1有相同的焦點

(1)求橢圓C的方程;

(2)過A點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓C於P，Q兩點，則PQ是否過定點?若是，求出定點的座標，若不是，請說明理由.

【考點】直線與橢圓的位置關係;橢圓的標準方程.

【分析】(1)求得雙曲線的焦點座標，可得橢圓的c，由A點，可得b，求得a，即可得到橢圓方程;

(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線AP的斜率爲k，直線AQ的斜率爲﹣ ，直線AP的方程爲y=kx+3，代入橢圓方程，求得P的座標，k換爲﹣ ，可得Q的座標，求出直線PQ的斜率，以及方程，整理可得恆過定點.

【解答】解：(1)雙曲線 =1的焦點座標爲(3 ，0)，(﹣3 ，0)，

可得橢圓中的c=3 ，由橢圓過點A(0，3)，可得b=3，

則a= =6，

則橢圓的方程爲 + =1;

(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線AP的斜率爲k，直線AQ的斜率爲﹣ ，

直線AP的方程爲y=kx+3，代入橢圓x2+4y2﹣36=0，

可得(1+4k2)x2+24kx=0，

解得x1=﹣ ，y1=kx1+3= ，

即有P(﹣ ， )，

將上式中的k換爲﹣ ，可得Q( ， )，

則直線PQ的斜率爲kPQ= = ，

直線PQ的方程爲y﹣ = (x+ )，

可化爲x(k2﹣1)﹣(5y+9)k=0，

可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣ .

則PQ過定點(0，﹣ ).

【點評】本題考查橢圓方程的求法，注意運用雙曲線的焦點座標，考查直線恆過定點的求法，注意運用聯立直線方程和橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬於中檔題.

21.已知函數f(x)=8a2lnx+x2+6ax+b(a，b∈R)

(1)若曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程爲y=2x，求a，b的值;

(2)若a≥1，證明：∀x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有 >14成立.

【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用;利用導數研究曲線上某點切線方程.

【分析】(1)求導，由題意可知 ，即可求得a，b的值;

(2)利用分析法，構造輔助函數，求導，根據函數的單調性即可求得結論.

【解答】解：(1)函數f(x)的定義域爲(0，+∞)，求導f′(x)= +2x+6a，

由曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程爲y=2x，則 ，

解得： 或 ，

則a，b的值0，1或﹣ ， ;

(2)證明：①當x10，欲證：∀x1，x2∈(0，+∞)，都有 >14成立，

只需證∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣f(x1)>14(x2﹣x1)成立，

只需證∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣14x2>f(x1)﹣14x1成立，

構造函數h(x)=f(x)﹣14x，則h′(x)=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，則h′(x)=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴h(x)在(0，+∞)內單調遞增，則h(x2)>h(x1)成立，

∴f(x2)﹣14x2>f(x1)﹣14x1成立，則 >14成立;

②當x1>x2時，則x2﹣x2<0，

欲證：∀x1，x2∈(0，+∞)，都有 >14成立，

只需證∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣f(x1)>14(x2﹣x1)成立，

只需證∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣14x2>f(x1)﹣14x1成立，

構造函數H(x)=f(x)﹣14x，則H′(x)=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，則H′(x)=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴H(x)在(0，+∞)內單調遞增，則H(x2)

∴ >14成立，

綜上可知：∀x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有 >14成立.

【點評】本題考查導數的綜合應用，導數的幾何意義，利用導數求函數的單調性及最值，考查分析法證明不等式，考查轉化思想，屬於中檔題.

[選修4-4：參數方程與極座標系]

22.在平面直角座標系xOy中，直線l的參數方程爲 (t爲參數)，以座標原點O爲極點，x軸的正半軸爲極軸的極座標系中，曲線C的極座標方程爲ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0

(1)若直線l與曲線C沒有公共點，求m的取值範圍;

(2)若m=0，求直線l被曲線C截得的弦長.

【考點】參數方程化成普通方程;簡單曲線的極座標方程.

【分析】(1)曲線C的極座標方程化爲直角座標方程，直線l的參數方程爲 ，代入並整理可得t2+( m﹣1)t+m2﹣4=0，利用直線l與曲線C沒有公共點，即可求m的取值範圍;

(2)若m=0，若m=0，直線l的極座標方程爲θ= ，代入C的極座標方程並整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用極徑的意義求直線l被曲線C截得的弦長.

【解答】解：(1)曲線C的極座標方程對應的直角座標方程爲x2+y2﹣2x﹣4=0，即(x﹣1)2+y2=5

直線l的參數方程爲 ，代入並整理可得t2+( m﹣1)t+m2﹣4=0

∵直線l與曲線C沒有公共點，

∴△=( m﹣1)2﹣4(m2﹣4)<0，

∴m<﹣ ﹣2 或m>﹣ +2 ;

(2)若m=0，直線l的極座標方程爲θ= ，代入C的極座標方程並整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0.

直線l被曲線C截得的弦的端點的極徑分別爲ρ1，ρ2，則ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，

∴直線l被曲線C截得的弦長=|ρ1﹣ρ2|= = .

【點評】本題考查三種方程的轉化，考查極徑的意義，屬於中檔題.

[選修4-5：不等式選講]

23.(2017湖北四模)已知函數f(x)=|x﹣2a|+|x+ |

(1)當a=1時，求不等式f(x)>4的解集;

(2)若不等式f(x)≥m2﹣m+2 對任意實數x及a恆成立，求實數m的取值範圍.

【考點】絕對值三角不等式;絕對值不等式的解法.

【分析】(1)當a=1時，分類討論，求不等式f(x)>4的解集;

(2)f(x)=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，利用不等式f(x)≥m2﹣m+2 對任意實數x及a恆成立，求實數m的取值範圍.

【解答】解：(1)當a=1時，不等式f(x)>4爲|x﹣2|+|x+1|>4.

x<﹣1時，不等式可化爲﹣(x﹣2)﹣(x+1)>4，解得x<﹣ ，∴x<﹣ ;

﹣1≤x≤2時，不等式可化爲﹣(x﹣2)+(x+1)>4，不成立;

x>2時，不等式可化爲(x﹣2)+(x+1)>4，解得x> ，∴x> ;

綜上所述，不等式的解集爲{x|x<﹣ 或x> };

(2)f(x)=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，

不等式f(x)≥m2﹣m+2 對任意實數x及a恆成立，∴2 m2﹣m+2 ，

∴0≤m≤1.

【點評】本題主要考查絕對值的意義，帶由絕對值的函數，函數的恆成立問題，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬於中檔題.