《約數和倍數的意義》反思

參與是個體投身認識與實踐活動的過程和基本形式。學生主體參與教學是其在教學中主體地位最基本的表現形式，因而具有非常重要的價值。新課程的核心理念是以學生髮展爲本，讓學生參與教學是課程實施的核心。參與的根本目的是解決學生會學習的問題，也就是會自主學習。因此，積極參與和有效參與二者就缺一不可。“約數和倍數”就是在這種理念指導下的有效嘗試。

（一）、積極參與是學生自主學習的前提。

從情感上願意學習就是積極學習，積極學習的情緒狀態下學習效果最佳。因此積極參與是學生自主學習的前提。本節課從以下三個方面可以看出學生的參與是積極的：

1、情緒飽滿，積極學習。本節課自始自終貫徹以學生爲主體的教育理念，從開頭的列舉生活中的數學信息、看信息列算式、到算式分類，學生充分發表自己的觀點；再到後面的練習，“練說倍數和約數”、“判斷”、“詠雪”、到“動腦筋離課堂”就更熱鬧了，學生每人都想自己說。學生在課堂上表現出的狀態是：搶着說、紛紛地說、熱烈地交流，這些充分說明了學生具有濃厚的學習興趣與高昂的學習熱情。

2、頻繁交往。擴大參與。素質教育強調面向全體，要求學生積極參與、全員參與，這就要求教者要爲學生提供更廣闊的交往空間，這種交往應該是多向式、交互式的，既有師生的交往，又有生生的交往。在本節課中，多次採用合作學習，學生都是人人蔘與，個個動腦、動口又動手。這些生生之間的交往，既爲學生交往提供了廣闊的空間，又能滿足學生的求知慾，發揮學生的主觀能動性，還能提高學生的智力活動水平。

（二）、有效參與是自主學習的保證。

新課程的培養目標是培養會學習的人。只有學會怎樣去學，也就是會自主學習才能適應終身教育，而有效參與恰恰是思維的參與，思維的真正參與就能開發智力，培養創新能力。因此，有效參與是學生自主學習的保證。在本節課中有效參與表現爲：

1、思維活躍。這是學生真正參與教學的關鍵所在。在本節課中，學生對除法算式的分類必須獨立思考，約數和倍數的概念必須自己看書自學，“動腦筋離課堂”也不是隨便亂猜就可以離開課堂，要考慮哪些數是符合要求的才能猜出，知識的構建圖要理順新舊知識的關係才能完成。一句話，沒有思考就不會有真正的收穫。

2、獨立學習時間多。獨立學習的時間就是學生自由支配的時間。自由支配的時間是學生主體參與的必要條件，也是個性發展的必要條件。本節課的課堂教學中，教師努力把自由支配的時間還給學生，讓每一個學生有更多的獨立思考時間。

3、表現機會充分。表現是社會人發展的途徑。國小生在校學習的過程實際上是個體社會化的過程，而表現則是一個人實現社會化的臺階。在本節課的課堂上，從對除法算式進行各種各樣的分類引入整除開始，教師是處處放手，真正做到學生會說的教師不講，學生有能力探究的教師不教，學生能夠昇華的教師不去總結，課堂變成了學生舒展靈性的空間。尤其在對待學生學習結果的處理上，“總結”這一大環節教師沒有去做，而是給學生一種極好的自我反思的機會。

綜觀整堂課，儘管內容枯燥抽象，而且內容較少，我力求：教師灌輸得不多，而師生的啓發對話多，學生之間合作交流多，學生自主學習多，教師只是一個組織者、引導着和參與者，努力讓學生真正成爲學習的主人，不僅積極參與每一個教學環節，切身去感受學習數學的快樂，品嚐了成功的喜悅，而且儘量使不同的學生得到不同的發展，滿足學生求知、參與、成功、交流和自尊的需要。

　教學內容：

國小數學第十冊第三單元中的第一小節授課內容。

　目標分析：

進一步探索理解整除的意義，知道約數、倍數的含義以及它們之間相互依存的關係。

　難點分析：

這部分內容是在第八冊整除知識的基礎上進行教學的，是這一單元中最基本的概念，也是下一步學習質數、合數、互質數，以及求最小公倍數、最大公約數的前提。因此，約數、倍數的含義以及它們之間相互依存的關係是本小節的難點。要讓學生明確以下情況：1、被除數、除數（0除外）、商必須都是整數，而商後沒有餘數，同時明確“除盡”和“整除”的區別，還要說明如A能被B整除，反過來可以說B能整除A的道理；2、約數和倍數必須以整除爲前提，約數和倍數是一對相互依存的概念，不能獨立存在，同時，因爲0是任何非0自然數的倍數，任何非0自然數都是0的約數，在以後學習分解質因數等內容時，一般限於非0自然數，所以本節內容應把0排除在外；3、要把倍數與倍區分清楚；4、通過一些簡單的方法找出一個數的約數和倍數。

解決策略：

由於知識內容比較抽象，爲了使學生掌握好這部分知識，應儘量從學生已有的知識出發，用實際例子引出概念。

在複習整除概念的意義和教學例1時，一可以通過一些除法算式的對比形式，用定義對整除加以概括，並用字母表示相除的兩個數，突出除數不爲0，這樣就使學生對整除的意義的理解在已有的基礎上得到加深。二可以通過約數和倍數必須以整除爲前提的認識過程，很快說出兩個倍數關係誰能被誰整除，誰能整除誰，誰是誰的倍數，誰是誰的約數，避免學生常出現的誰是倍數，誰是約數的錯誤認識，並強調倍數與約數是一對相互依存的關係。

在教學例2時，利用畫彩條和集合圖的方法表示一個數的約數。爲了解決學生內容遺漏，可以用一對一的找法，如12÷12=1，就可以找到12÷1=12。通過以上找法，讓學生歸納出：一個數的約數個數是有限的，其中最大的約數是本身，最小的約數是1。

在例3時，同樣可以參照例2畫彩條和集合圖的方法表示一個數的倍數。但必須強調找一個數的倍數，應從最小的倍數開始找，引導學生探索自然數是無限的，因此2的倍數也是無限的，所以可以用省略號表示，在用集合圖表示倍數時，要注意在圈裏寫上省略號。在概括出一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它的本身時，要讓學生弄清爲什麼一個數的倍數沒有最大的，因爲自然數的個數是無限的，所以一個數的倍數的個數也是無限的，因此沒有最大的倍數。

　課堂活動：

這節課注重學生的主動參與，自主建構，讓學生在生活中理解約數、倍數的概念。具體表現如：

—是注重知識的內在聯繫，讓學生利用已有知識經驗推動新知識的學習。整除是建立約數、倍數概念的重要基礎，針對知識的這一內在聯繫和學生已經學習了整除概念這一實際。新課前進行的複習準備，既能喚起學生對整除的回憶，激活學生的認知結構，又能爲新課的學習作好充分的認知準備此外，在新課的學習和練習中，讓學生感受到很多數的約數和倍數都不止一個，爲公約數、公倍數等學習作鋪墊。

二是充分激發學生主動參與，讓學生進行自主建構．本節課在對約數、倍數的理解和關係把握的教學中，教師注重角色的轉換，置學生於教學的主體地位，通過不同表述方式表達兩個數的關係等，爲學生進行自主探索搭建平臺，學生在教師的引導、組織下，獨立思考，合作交流，全面、深入理解約數、倍數的含義，清楚把握它們的關係。

　三是課堂活動性強，練習形式豐富，內容全面。本節課在課堂活動的安排上，體現全面性、趣味性、深刻性。通過這樣的練習，不但有利於學生全面鞏固所學知識，更有利於激發學生參與的積極性，讓學生體驗到數學學習的樂趣。

【背景與導讀】

《約數和倍數》是人教版義務教材五年級下冊的教學內容。本節課屬於概念教學，可操作性不強，對學生來說比較抽象，理解較困難。可以說，目前，想把概念教學講透、講活是衆多數學教師所面臨的一個難題。理解約數和倍數的涵義是建立在“整除”的基礎之上。在之前學生對整除只是有個初步的認識，但還不能以嚴密的定義形式再現，所以我先讓學生通過給幾道除法算式求商，然後根據算式特點將算式分類，通過觀察、比較建立“整除”的意義。在此基礎上提出兩個數的另一種關係：約數和倍數的關係。通過自主學習、合作探究的形式，掌握約數和倍數的意義，並抓住了對關健詞“相互依存”的理解，又通過學生互辨互評的過程，以及趣味的變式練習，深化了對約數和倍數的理解。在整個新知識的教學中，學生始終保持着飽滿的熱情，積極地去探索、去體驗，主動地建構知識。

【案例與反思】

活動探究，建立整除概念。

[片斷一]

1.將下面幾道算式卡片分發到各小組

15÷36÷1.23÷224÷8

30÷153.3÷1.120÷6

師：先計算，再根據你們在計算時的體驗將這些算式分類，並說出分類的依據。

（小組計算、商討，彙報交流）

生1：我們組認爲可以分爲兩類，一類是除不盡的，另一類是除盡的。（同時展示）

（1）15÷3=5（2）7÷3=2……1

6÷1.2=520÷6=3……2

3÷2=1.5

24÷8=3

30÷15=2

3.3÷1.1=3

生2：我們組認爲可以分爲這樣的兩類：一類是被除數和除數都是整數的，另一類是被除數和除數有小數的。（同時展示）

（1）15÷3=5（2）6÷1.2=5

3÷2=1.53.3÷1.1=3

30÷15=2

7÷3=2……1

20÷6=3……2

生3：我覺得生1組的分類合理些，生2組的分類沒什麼意義。

生4：我們也同意生1組的分法，但我們認爲還可以將第（1）類再分成兩類，這樣可以分成三類：一類是一般除盡的；一類是不僅能除盡並且整除的；一類是除不盡的。（同時展示）

（1）3÷2=1.5（2）15÷3=5（3）7÷3=2……1

6÷1.2=524÷8=320÷6=3……2

3.3÷1.1=330÷15=2

師：依據不同的標準，就有不同的分法。生3將能除盡的算式又分成了兩類，將整除算

式單獨列出來。你能用一句話或一幅圖表示整除和除盡的關係嗎？

（小組內商量）抽生彙報：能整除一定能除盡，能除盡不一定能整除，除盡的範圍要比整除的範圍大一些。

生：我們還可以用一個集合圖來表示整除和除盡的關係：

師：請你們再舉出幾道整除算式來。同桌交流。

師：如果用數a表示被除數，數b表示除數，數c表示商，那麼它們的整除條件是怎樣的？（小組內商量、彙報，師板書）

a÷b=c（1）a、b、c都是整數，並且沒有餘數。

（2）b不等於0。

師：一道除法算式如果具備了整除條件，我們就說數a能被數b整除，B能整除a。

生自讀教材整除定義。

師：那麼15÷3=5這個整除算式，誰能被誰整除，誰能整除誰？（抽幾名學生說一說）

小組內學生互說互評。

師：能否說3能被2整除？爲什麼？

……

[反思]

理解“整除”是認識“約數和倍數”的前提，概念的學習，對學生來說比較抽象。教師必須激發學生的學習興趣，只有在學生主動的狀態下的學習纔是最有效的，課堂上一方面要體現以學生爲主體，另一方面要培養學生自我探究的意識，讓學生主動參與學習過程，才能激發他們的探究慾望，培養學生自主學習的能力。學生在以前雖然學習過整除，但已冷卻了很長時間，何況當時也沒有明確地下定義，而理解“整除”對於本節課很關鍵。於是我沒有按教材安排的那樣一開始就讓學生回憶什麼叫“整除”，而是依據學生對整除算式的表象印象將幾道除法算式求商後進行分類，進而從中篩選出整除算式，通過篩選對“整除”的表象深化，從而理解“整除的意義”。另外，我也不是將計算好的算式直接讓學生分類，而是先計算，再讓學生根據自己的實踐體驗，分類時也更有依據性。還把算式製成活動卡片的形式，創設了操作契機，學生分類也較靈便，學得也很積極主動。

[片斷二]

交流探索，理解“約數和倍數”

師：當數a能被數b整除時，它們也具備了另一種關係，那就是我們今天要學習的約數和倍數的關係。（板書課題）

這種關係是什麼樣的呢？自讀教材“約數和倍數”的意義。

自學提示：

（1）在什麼情況下兩個數才具有約數和倍數的關係？

（2）這種關係是怎樣的？

（3）“相互依存”是什麼意思？（可查字典）

生1：必須在整除的前提重要條件下，兩個數才具備約數和倍數的關係。（其他同學舉手同意）

生2：當數a能被數b整除時，a就是b的倍數，b就是a的約數或因數。如15÷3=5，15是3的倍數，3是15的約數。

生3：生2的回答很好，他還舉了例子，讓大家聽得非常明白。

師：（以7÷3=2……1爲例）能說7是3的倍數，3是7的約數嗎？

生譁然：不能！

爲什麼？

生4：約數和倍數必須建立在整除的前提條件下，7不能被3整除，所以不能說7是3的倍數，3是7的約數。

師作明白狀，然後擦掉不是整除的算式。

同桌相互說出一組數的約數和倍數的關係。

師：書中有這樣一句話，約數和倍數是相互依存的，怎樣理解？

生5：我們查過字典，也相互講座過，“相互依存”是相互依靠、相互依賴的意思，簡單地說，就是“相依爲命，誰也離不開誰”。

師：我也以15÷3=5爲例，因爲15能被3整除，所以15是倍數，3是約數。請你們判斷我說的對嗎？

生：“對”“不對”

師：爲什麼不對？

生15是3的倍數，但在30÷15=2中，15又是30的約數，所以不能單說15是倍數，它也可能成爲另一個數的約數。必須說清誰是誰的倍數，誰是誰的約數。

師強調：這就是約數和倍數的相互依存交通系統，必須說清誰是誰的倍數，誰是誰的約數。

……

[反思]

在引入約數和倍數時，注意了新舊知識的聯繫，讓學生感受到新知識的生長點。認識約數和倍數的意義時，讓學生在看書自學的基礎上談收穫和體會，體現了讓學生在學習中的自主建構，而自學提示又給學生點亮了指明燈，讓學生學有目標。對於第一次認識的兩個數的約數和倍數關係，通過讓學生相互說、評的過程，加強了學生對“約數和倍數”的認識，又通過查字典、互辨互說中理解“相互依存”的含義，從而深化對“約數和倍數”的理解。而在數學課堂上查字典，學生感覺很新鮮，也體會到學科之間是相互聯繫的，學生學得更主動了。

[片斷三]

趣味練習，深化主題。

課堂練習

……

課後練習第四題：下面哪些數是60的約數，哪些數是6的倍數

481256018

我是這樣設計的：將這幾個數製成數字卡片，抽兩名學生上黑板選出之後貼入下面的集合裏

生1選出12、5貼到第一個集合裏。

生2也選出48、18，然後又將12從第一個集合裏拿到第二個集合裏。（生1還沒看見）

生1剛拿到60，生2也去拿60，這樣兩人相持不下，“我的”“我的”

生1：哎，12本來是我的，你怎麼拿走了？（生1這才發現12已被生2拿走，而現在又在爭奪這個60）

其他同學都笑了。

師：同學們，你們看，這兩個數該給誰呢？

生：他們倆都對！（學生們都愣住了，噢，這兩個數他們都需要。）

師：誰能說說這說明了一個什麼道理？

生1：說明了一個數可能是某個數的約數，也可能是另一個數的倍數。

生2：這正說明了約數和倍數得相互依存的。

生3：正因爲這樣，所以不能單說誰是約數，誰是倍數。一定要說清誰是誰的約數，誰是誰的倍數；誰的約數是誰，誰的倍數是誰。

……

[反思]

巧妙地將這個練習題設計成了趣味遊戲，將靜態教材動態化，符合學生的年齡特點。在兩個學生爭奪這兩個數時將課堂氣氛推向了高潮。不僅增強了數學學習的趣味性，而且使學生加深了對約數和倍數的認識，並對深化本節課的主題也起到了推波助瀾的作用。讓學生真正成爲學習的主人，調動了學生學習數學的興趣。

[點評與拓展]

這節課是概念教學，教師沒有落入“枯燥乏味”的.老套，而是根據學生的年齡特點和教材特點，靈活地駕馭教材，取得了非常好的教學效果。本節課在教學設計上體現了新的課程理念，注重了學生的主動參與、自主建構，讓學生在活動中理解約數和倍數的意義。教師在角色上只是作好引導，幫助學生質疑解難，當學生的學習有困難時，教師採用了分組討論，採取合作交流的學習方式排除疑難，讓學生真正成爲學習的主人，親自品嚐到了成功的喜悅。

一是將靜態教材動態化。新課程強調教師不僅是教材的使用者，同時也是教材的開發者，本節教學中，教師在理解、研究教材的基礎上，在膽地對教材進行二度開發，實現了教材由靜態向動態的轉變。教師沒有如教材所提供的教學思路，先複習什麼是整除，然後找出整除算式，而是先將靜態的算式製成動態的卡片，爲學生將算式進行分類提供了動態情境，成功地實現了“整除”在學生心中的辨別與概括的建構過程，也爲下面學習約數和倍數做好了準備。在課堂練習時，教師又將靜態的選擇題設計成活動卡片的形式，不僅調動了學生的學習數學的興趣，而且深化了對約數和倍數的理解，實現了在數學課中的“活中樂、活中學、活中悟、活中索”的數學學習新體驗。

二是教學內容探究化。“教學不是告訴，”教師沒有直接把整除的意義告知學生，而是讓學生在算一算、比一比、擺一擺、議一議、說一說的過程中，探究除法算式的特點，感知整除與除盡、小數除法的不同；在學習約數和倍數的意義時，則通過自主學習與合作探究的形式，當有了疑難，則通過讓學生互辨互評的方式，順利地突破了重難點，體現了“學生是教學的主體”這一新課程的核心理念。

三是概念教學活動化。以往教師在概念教學中大多采用講解法，教學沉悶，教師講得吃力，學生聽得費勁。而在本節課中，教師讓學生在拼擺算式、合作交流、變式練習等形式使課堂氣氛活躍生動，學生學得輕鬆愉快，提高了學生學習數學的興趣。同時也培養了學生在活動中合作學習、團結互助的精神，拓展了學生的學習能力，學生也從中嚐到了成功的樂趣。

素質教育的重要着眼點是改變學生的學習方式。實施素質教育就必須要以學生的發展爲本，要改變學生在原有的教育教學條件下所形成的那種偏重於記憶和理解、立足於接受教師知識傳輸的學習方式，幫助學生形成一種主動探究知識、並重視解決實際問題的積極學習方式，這是一種有利於終身學習、發展學習的方式。爲了倡導這種學習方式，使素質教育落到實處，我在設計約數和倍數的意義這一課時，採用了以問題爲中心，在教師的指導下，讓學生以合作交流、討論、自學等形式主動地去獲取知識、應用知識、解決問題，從而使學生的創新精神和實踐能力的發展有了切實的落腳點。

綜觀整堂課，教師教得非常少，而學生講得非常多，學生之間合作交流多，學生自主學習多，教師只是一個組織者和參與者，學生真正成爲學習的主人，不僅積極參與每一個教學環節，切身感受了學習數學的快樂，品嚐了成功的喜悅，而且不同的學生得到不同的發展，滿足了學生求知、參與、成功、交流和自尊的需要。

1、讓學生大膽地、自由地想、說、做。

語言是思維的外殼。天真爛漫的孩子是怎麼想的，只有通過他們的說才能反映出來。爲此，在進行整除意義的教學時，首先讓學生獨立研究（即自主探究），通過自己動手分一分、想一想，然後再小組合作交流彼此的想法、分法，求同存異，最後通過爭論得出正確結論。這樣的方法正符合新課程標準所倡導的學習方法。

2、讓學生在遊戲中體會、感悟。

玩，是孩子的天性，讓孩子在玩耍中；輕鬆地獲取知識是極好的學習途徑。因此，在約數和倍數的概念建立之後，組織學生做遊戲，在遊戲中找具體數的倍數和約數，從中體會、感悟知識的內涵與外延。這正符合新課程標準所要求的重視學生的情感體驗，重視學生的體會、感悟。同時也使學生感受到了數學的趣味性和無窮魅力。

3、置身於學生當中，做學生的一員，增強與學生的親和力。

古人云，親其師則信其道。我覺得當今的教育也是如此。老師只有不斷增強與學生的親和力，學生才能樂意跟着學習。爲此，在學習約數和倍數之前，我組織學生編號時，把自己也編入學生之列，並與學生共同遊戲，置身於學生當中，使學生感受到教師就是他們的朋友，就是他們中的一員，這也正體現了師生平等的新理念。