人教版高一數學知識點總結

總結是在某一時期、某一項目或某些工作告一段落或者全部完成後進行回顧檢查、分析評價，從而得出教訓和一些規律性認識的一種書面材料，它可以明確下一步的工作方向，少走彎路，少犯錯誤，提高工作效益，讓我們來爲自己寫一份總結吧。那麼總結應該包括什麼內容呢？下面是小編爲大家收集的人教版高一數學知識點總結，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

集合的有關概念

1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成爲一個集合(集).其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

4)常用數集：N，Z，Q，R，N

子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念

1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);

2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記爲AB(或，且)

3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)並集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

5)補集：CUA={x|xA但x∈U}

注意：A，若A≠?，則?A;

若且，則A=B(等集)

集合與元素

掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。

子集的幾個等價關係

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

交、並集運算的性質

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

有限子集的個數：

設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

練習題：

已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足關係()

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

解答一：對於集合M：{x|x=,m∈Z};對於集合N：{x|x=,n∈Z}

對於集合P：{x|x=,p∈Z}，由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以MN=P，故選B。

1、函數零點的定義

(1)對於函數)(xfy，我們把方程0)(xf的實數根叫做函數)(xfy的零點。

(2)方程0)(xf有實根?函數()yfx的圖像與x軸有交點?函數()yfx有零點。因此判斷一個函數是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程0)(xf是否有實數根，有幾個實數根。函數零點的求法：解方程0)(xf，所得實數根就是()fx的零點(3)變號零點與不變號零點

①若函數()fx在零點0x左右兩側的函數值異號，則稱該零點爲函數()fx的變號零點。②若函數()fx在零點0x左右兩側的函數值同號，則稱該零點爲函數()fx的不變號零點。

③若函數()fx在區間,ab上的圖像是一條連續的曲線，則0)()(

2、函數零點的判定

(1)零點存在性定理：如果函數)(xfy在區間],[ba上的圖象是連續不斷的曲線，並且有()()0fafb，那麼，函數)(xfy在區間,ab內有零點，即存在),(0bax，使得0)(0xf，這個0x也就是方程0)(xf的根。

(2)函數)(xfy零點個數(或方程0)(xf實數根的個數)確定方法

①代數法：函數)(xfy的零點?0)(xf的根;②(幾何法)對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數)(xfy的圖象聯繫起來，並利用函數的性質找出零點。

(3)零點個數確定

0)(xfy有2個零點?0)(xf有兩個不等實根;0)(xfy有1個零點?0)(xf有兩個相等實根;0)(xfy無零點?0)(xf無實根;對於二次函數在區間,ab上的零點個數，要結合圖像進行確定.

3、二分法

(1)二分法的定義:對於在區間[,]ab上連續不斷且()()0fafb的函數()yfx,通過不斷地把函數()yfx的零點所在的區間一分爲二,使區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分法;

(2)用二分法求方程的近似解的步驟:

①確定區間[,]ab,驗證()()0fafb,給定精確度e;

②求區間(,)ab的中點c;③計算()fc;

(ⅰ)若()0fc,則c就是函數的零點;

(ⅱ)若()()0fafc,則令bc(此時零點0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,則令ac(此時零點0(,)xcb);

④判斷是否達到精確度e,即ab,則得到零點近似值爲a(或b);否則重複②至④步.

冪函數的性質：

對於a的取值爲非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作爲分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能爲負數，那麼我們就可以知道：

排除了爲0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數;

排除了爲0這種可能，即對於x<0x="">0的所有實數，q不能是偶數;

排除了爲負數這種可能，即對於x爲大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。

總結起來，就可以得到當a爲不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a爲任意實數，則函數的定義域爲大於0的所有實數;

如果a爲負數，則x肯定不能爲0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q爲偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數，則函數的定義域爲不等於0的所有實數。

在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q爲奇數，函數的值域爲非零的實數。

而只有a爲正數，0才進入函數的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

(2)當a大於0時，冪函數爲單調遞增的，而a小於0時，冪函數爲單調遞減函數。

(3)當a大於1時，冪函數圖形下凹;當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸。

(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0，函數過(0，0);a小於0，函數不過(0，0)點。

(6)顯然冪函數無界。

解題方法：換元法

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這種方法叫換元法.換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進新的變量，可以把分散的條件聯繫起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯繫起來.或者變爲熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。

它可以化高次爲低次、化分式爲整式、化無理式爲有理式、化超越式爲代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那麼我們就說這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。

多面體

1、棱柱

棱柱的定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質

(1)側棱都相等，側面是平行四邊形

(2)兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形

(3)過不相鄰的兩條側棱的截面(對角面)是平行四邊形

2、棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質：

(1)側棱交於一點。側面都是三角形

(2)平行於底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等於截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

3、正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，並且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質：

(1)各側棱交於一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

(3)多個特殊的直角三角形

a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影爲底面三角形的`垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影爲底面三角形的垂心。

圓的方程定義：

圓的標準方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三個參數a、b、r，即圓心座標爲（a，b），只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心座標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。

直線和圓的位置關係：

1、直線和圓位置關係的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關係。

①Δ>0，直線和圓相交。②Δ=0，直線和圓相切。③Δ<0，直線和圓相離。

方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較。

①dR，直線和圓相離。

2、直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程。求圓的切線方程主要可分爲已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分爲已知圓上一點和圓外一點兩種情況。

3、直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題。

切線的性質

⑴圓心到切線的距離等於圓的半徑；

⑵過切點的半徑垂直於切線；

⑶經過圓心，與切線垂直的直線必經過切點；

⑷經過切點，與切線垂直的直線必經過圓心；

當一條直線滿足

（1）過圓心；

（2）過切點；

（3）垂直於切線三個性質中的兩個時，第三個性質也滿足。

切線的判定定理

經過半徑的外端點並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。

切線長定理

從圓外一點作圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。

圓的方程定義：

圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三個參數a、b、r，即圓心座標爲(a，b)，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心座標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。

直線和圓的位置關係：

1.直線和圓位置關係的判定方法一是方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關係.

①Δ>0,直線和圓相交.②Δ=0,直線和圓相切.③Δ<0,直線和圓相離.

方法二是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

①dR,直線和圓相離.

2.直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分爲已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線上一點又可分爲已知圓上一點和圓外一點兩種情況.

3.直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

切線的性質

⑴圓心到切線的距離等於圓的半徑;

⑵過切點的半徑垂直於切線;

⑶經過圓心,與切線垂直的直線必經過切點;

⑷經過切點,與切線垂直的直線必經過圓心;

當一條直線滿足

(1)過圓心;

(2)過切點;

(3)垂直於切線三個性質中的兩個時,第三個性質也滿足.

切線的判定定理

經過半徑的外端點並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線.

切線長定理

從圓外一點作圓的兩條切線,兩切線長相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.

圓錐曲線性質：

一、圓錐曲線的定義

1.橢圓：到兩個定點的距離之和等於定長(定長大於兩個定點間的距離)的動點的軌跡叫做橢圓.

2.雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值爲定值(定值小於兩個定點的距離)的動點軌跡叫做雙曲線.即.

3.圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線.當01時爲雙曲線.