教學目標
1.把握橢圓的定義,把握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程;
2.能根據條件確定橢圓的標準方程,把握運用待定係數法求橢圓的標準方程;
3.通過對橢圓概念的引入教學,培養學生的觀察能力和探索能力;
4.通過橢圓的標準方程的推導,使學生進一步把握求曲線方程的一般方法,並滲透數形結合和等價轉化的思想方法,提高運用座標法解決幾何問題的能力;
5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程,激發學生學習數學的積極性,培養學生的學習愛好和創新意識.
教學建議
教材分析
1. 知識結構
2.重點難點分析
重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的'兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是把握建立座標系與根式化簡的方法.
橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容:一是橢圓的定義;二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先碰到的,所以教材把對橢圓的研究放在了重點,在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對於學生學好圓錐曲線是非常重要的.
(1)對於橢圓的定義的理解,要抓住橢圓上的點所要滿足的條件,即橢圓上點的幾何性質,可以對比圓的定義來理解.
另外要注重到定義中對“常數”的限定即常數要大於 .這樣規定是爲了避免出現兩種非凡情況,即:“當常數等於 時軌跡是一條線段;當常數小於 時無軌跡”.這樣有利於集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注重不要忽略這兩種非凡情況,以保證對橢圓定義的準確性.
(2)根據橢圓的定義求標準方程,應注重下面幾點:
①曲線的方程依靠於座標系,建立適當的座標系,是求曲線方程首先應該注重的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理,發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,以這兩條對稱軸作爲座標系的兩軸,不但可以使方程的推導過程變得簡單,而且也可以使最終得出的方程形式整潔和簡潔.
②設橢圓的焦距爲 ,橢圓上任一點到兩個焦點的距離爲 ,令 ,這些措施,都是爲了簡化推導過程和最後得到的方程形式整潔、簡潔,要讓學生認真領會.
③在方程的推導過程中碰到了無理方程的化簡,這既是我們今後在求軌跡方程時經常碰到的問題,又是學生的難點.要注重說明這類方程的化簡方法:①方程中只有一個根式時,需將它單獨留在方程的一側,把其他項移至另一側;②方程中有兩個根式時,需將它們分別放在方程的兩側,並使其中一側只有一項.
④教科書上對橢圓標準方程的推導,實際上只給出了“橢圓上點的座標都適合方程 “而沒有證實,”方程 的解爲座標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題,難度較大,對同學們不作要求.
(3)兩種標準方程的橢圓異同點
中心在原點、焦點分別在 軸上, 軸上的橢圓標準方程分別爲: , .它們的相同點是:外形相同、大小相同,都有 , .不同點是:兩種橢圓相對於座標系的位置不同,它們的焦點座標也不同.
